Matematikadan o’quv-uslubiy majmua

Skalyar ko‘paytmaning xossalari

1-xossa. Ko‘paytuvchilarning o‘rin almashtirish xossasi:



Isboti.

2-xossa. Skalyar ko‘paytuvchiga nisbatan guruhlash xossasi:



Isboti. (7.2) formulaga ko‘ra . Vektorning o‘qdagi proeksiyasining 3-xossasiga asosan .

Bundan

.

3-xossa. Qo‘shishga nisbatan taqsimot xossasi:

.

Isboti. Vektorning o‘qdagi proeksiyasining 2-xossasiga ko‘ra

Demak,

.

4-xossa. Agar va vеktorlar pеrpеndikular bo‘lsa, u holda ularning skalyar ko‘paytmasi nolga teng bo‘ladi. Shunindek, teskari tasdiq o‘rinli: agar bo‘lsa, u holda bo‘ladi.

Xususan:

Isboti. bo‘lganda .hiqadi, ya'ing moduli krqarilsa bo‘ladi. Bundan .

bo‘lsa, bo‘ladi. Bundan , ya’ni .

5-xossa. Vektorning skalyar kvadrati uning uzunligi kvadratiga teng, ya’ni .

Xususan:

Isboti. .

1-izoh. Agar vektorni skalyar kvadratga oshirib, keyin kvadrat ildiz

chiqarilsa, vektorning o‘zi emas, balki uning moduli hosil bo‘ladi, ya’ni

7.1-misol. , , bo‘lsin. ko‘paytmani toping.

Yechish. Avval 3-xossadan foydalanib qavslarni ochamiz va keyin skalyar ko‘paytmaning ta’rifi va xossalaridan foydalanib, topamiz:





.

7.2-misol. , bo‘lsin. Bu vеktorlarga qurilgan parallelogramm diagonallarining uzunliklarini toping.

Yechish. va vektorlarga qurilgan parallelogram diagonallarini va vektorlar orqali ifodalash mumkin.

Skalyar ko‘paytmaning xossalaridan foydalanib, topamiz:

,