Mavzu: giperbola urinmasining xossalari

Kurs ishining ob’ekti: Oliy va o‘rta ta’lim muassasalarida analitik geometriya o‘qitish jarayoni.
Kurs ishining predmeti: Analitik geometriya o‘qitish metodlari va vositalari.
Kurs ishining vazifalari:
1. Mavzuga doir ma’lumotlarni yig‘ish va rejani shakllantirish;
2. Tekislikdagi to‘g‘ri chiziq tenglamalari
3. Tekislikdagi to‘g‘ri chiziqning kanonik tenglamasi
4. Nuqtadan to‘g‘ri chiziqqacha bo‘lgan masofa


GIPERBOLANING URINMA VA NARMAL TENGLAMALARI.

(1.1) ko’rinishidagi tenglama ikkinchi darajali algebraic tenglama deb ataladi.
Bu yerda malum sonlar bo’lib ulardan, bir vaqtda
Nolga teng emas .Aks holda ya’ni bo’lgan (1.1) tenglama
Ko’rinishidagi chiziqli (birinchi darajali) tenglamaga aylanadi.
Dekart koordinatalari x va y ga nisbatan ikkinchi tartibli egri chiziqlar deb ataladi (1.1) ikkimchi tartibli ergi chiziqning umumiy tenglamasi deyiladi . Ikkinchi tartibli egri chiziqlarga aylana , ellips ,giperbola va parabolalar kiradi.
Aylana va uning kanonik tenglamasi.
Tekislikning berilgan nuqtasidan bir xil masofada joylashgan shu tekislik nuqtalarining geometrik o’rniga aylana deb ataladi. Tekislikning berilgan nuqtasini
Markazi 0 (a;b) nuqtada bo’lib radiusi R ga teng aylananing tenglamasini tuzamiz . Aylananing ixtiyoriy nuqtasini M(x;y) desak aylananing tarifidan .
MO=R
Ikki nuqta orasidagi masofani topish fo’rmulasi dan foydalansak .
=R
Yoki bu tenglikni har ikkala tomonini kvadratga ko’tarsak
= (1.2)
Kelib chiqadi . shunday qilib aylananing istalgan M(x;y) nuqtasinining koordinatalari (1.2) tenglamani qanoatlantirar ekan . Demak (1.2) aylana tenglamasi aylananing kanonik (eng soda ) tenglamasi deb ataladi .
Xususiy holda aylananing markazi O(a,b) koordinatalar boshida bo’lsa a=b=0 bo’lib uning tenglamas
+
Ellips va uning kanoik tenglamasi.
Har bir nuqtasidan tekislikning berilgan ikkita nuqtasigacha masofalarning yig’indisi o’zgarmas bo’lgan shu tekislik nuqtalarining geometrik o'riniga ELLIPS deb ataladi . Tekislikningberilgan nuqtalarini
va orqali belgilab ularni ellipsning FOKUSLARI deb ataladi.
Fokuslar orasidagi masofani 2c va ellipsning har bir nuqtasidan uning fokuslarigacha bo’lgan masofalarning yig’indini 2a orqali belgilanadi. Oxy dekart koordinatalar sistemasini Ox o’qni ellipsning har bir fokuslari va orqali o’rtkazib dan tomonga yo’naltiramiz koordinatalar boshini esa kesmaning o’rtasiga joylashtiramiz . U holda fokuslar (-c;0) , (c;0) koordinatalarga ega bo’ladi.
M(x,y) ellipsning ixtiyoriy nuqtasi bo’lib tarifga ko’ra M nuqtadan ellipsning focuslari gacha masofalarning yig’indisi o’zgarmas son 2a ga teng, ya’ni
Ikki nuqta orasidagi masofani topish fomulasi (1.2) ga ko’ra
MF₁ = MF₂ =
+ =2a yoki
=2a-
Kelib chiqadi. Oxirgi tenglikni ikkala tomonini kvadratga ko’tarib ixchamlaymiz . +
+ = -2*2a- +( +
va orqali belgilab ularni ellipsning FOKUSLARI deb ataladi.
Fokuslar orasidagi masofani 2c va ellipsning har bir nuqtasidan uning fokuslarigacha bo’lgan masofalarning yig’indini 2a orqali belgilanadi. Oxy dekart koordinatalar sistemasini Ox o’qni ellipsning har bir fokuslari va orqali o’rtkazib dan tomonga yo’naltiramiz koordinatalar boshini esa kesmaning o’rtasiga joylashtiramiz . U holda fokuslar (-c;0) , (c;0) koordinatalarga ega bo’ladi.
M(x,y) ellipsning ixtiyoriy nuqtasi bo’lib tarifga ko’ra M nuqtadan ellipsning focuslari gacha masofalarning yig’indisi o’zgarmas son 2a ga teng, ya’ni
Ikki nuqta orasidagi masofani topish fomulasi (1.2) ga ko’ra
MF₁ = MF₂ =
+ =2a yoki
=2a-
Kelib chiqadi. Oxirgi tenglikni ikkala tomonini kvadratga ko’tarib ixchamlaymiz . +
+ = -2*2a- +( +
+2cx+ 4 -4a +
4cx=4 -4a ; cx= -a Natijani kvadratga oshirib uni bunday xolatga keltiramiz .
( - ) + = - ) + =1 (1.3)
Shunday qilib ellipsning ixtiyoriy M(x,y) nuqtasining koordinatalari (8) tenglamani qanoatlantiradi . Demak (8) ellipsning tenglamasi . U ellipsning kanonik tenglamasi deb ataladi . Koordinatalar boshi ellips ning markazi deyiladi . Koordinata o’qlari esa ellipsning simmetriya o’qlari bo’lib xizmat qiladi. Ellipsning fokuslari joylashgan o’q uning fokal o’qi deyiladi . Ellipsning simmetriya o’qlari bilan kesishish nuqtalari uni uchlari deyilari . Orqali belgilanadi . Ellips uchun 0 bo’ladi chunki . Ekssentrisitet ellipsning shaklini izohlaydi