Mavzu: giperbola urinmasining xossalari

Giperbola va uning kanonik tenglamasi.
Har bir nuqtasidan tekislikning berilgan ikkita nuqtasigacha masofalarning ayirmasi o’zgarmas bo’lgan shu tekislik nuqtalarining geometric o’rniga Giperbola deb ataladi.
Tekislikning berilgan nuqtalarini F₁ va orqali belgilab ularni gepirbolaning fokuslari deb ataymiz. Fokuslar orasidagi masofani 2c va giperbolaning har bir nuqtasidan uning fokuslarigacha bo’lgan masofalarning ayrimasini orqali belgilanadi . dekart koordinatalar sistemasini xuddi ellipsdagidek o’qini F_1, fokuslaridan o’tadigan qilib talanib koordinatalar boshini kesmalarning o’rtasiga joylanadi Uholda fokuslar (-c;0) , (c;0) koordinatalarga ega bo’lamiz
Endingiperbolaning tenglasini keltirib chiqaramiz M(x,y)giperbolaning ixtiyoriy nuqtasi bo’lsin . Tarifga binoan giperbolaning M nuqtasidan uning fokuslari F₁ va gacha masofalarning ayirmasi o’zgarmasi son ga teng yani MF₁ -MF₂ = Ikki nuqta orasidagi masofani topish formulasiga binoan
MF₁ = va MF₂ = bolgani uchun
- = (1.4)
Kelib chiqadi .Ellips tenglamasini chiqarishda bajarilgan amallarga o’xshash amallar bajarilib
( - ) + = - ) (1.5) tenglamaga ega bo’ladi . Malumki uchburchakning ikki tomonini ayrimasi uchinchi tomonidan kichik . shunga ko’ra dan
- 2a ( ,c 0) hosil bo’ladi .Shuning uchun - = deb belgilasak. U holda
- + =- ko’rinishidaga ega bo’ladi . Buni ga bo’lib - =1 (1.6)
Tenglamasini hosil qilamiz . Shunday qilib giperbolaning ixtiyoriy M(x,y) nuqtasining koordinatalari (1.6) tenglamani qanoatlantiradi Demak u giperbolaning tenglamasi (1.6) giperbolaning kanonik tenglamasi deb ataladi .Giperbolaning simmetriya o’qlarini kesishish nuqtasi giperbolaning markazi deb ataladi.
Giperbolaning fokuslari joylashgan simetriya o’qi uning fokal o’qi deb ataladi . Giperbolaning fokal o’qi bilan kesishish nuqtalari uning uchlari deb ataladi.
Giperbolaning fokal o’qi haqiqiy o’qi o’nga perpendikulyar o’qi mavhum o’qi deb ataladi .a va b sonlar mos ravishda giperbolaning haqiqiy va mavhum yarim o’qilari deyiladi. Giperbolaning M nuqtasi u
bo’ylab cheksiz uzoqlashganda shu nuqtadan y=- x y= x to’g’ri chiziqlarning birortasigacha masofa nolga intilishini ko’rsatish mumkin . Yani giperbolaning koordinatalar boshidan yetarlicha kata masofa joylashgan nuqtalari y=- x va y= x to’g’ri chiziqlardan biriga yetarlicha yaqin joylashadi . Koordinatalar boshidan o’tuvchi bu to’g’ri chiziqlar giperbolaning asimtotalari deb ataladi.
Giperbolani chizishdan oldin uning asimtotalarini chizish tavsiya etiladi. Markazi koordinatalar boshida bo’lib tomonlari Ox va Oy o’qlarga parallel va mos ravishda 2a va 2b ga teng bo’lgan to’g’ri burchakli to’rtburchak yasaymiz .Bu to’rtburchakning giperbolaning asosiy to’rtburchagi deymiz . To’rtburchakning dioganallari har tarafga cheksiz davom ettirsak giperbolaning asimtotalari hosil bo’ladi .
nisbatan giperbolaning ekssentrisiteti deb ataladi va u orqali belgilanadi . Haqiqiy va mavhum o’qlari teng giperbola teng tomonli deb ataladi . Teng tomonli giperbolaning kanonik tenglamasi - =1 yoki
Parabola va uning kanonik tenglamasi
Berilgan nuqtadan hamda berilgan to’g’ri chiziqdan teng uzoqalikda joylashgan tekislik nuqtalarining geometrik o’rniga Parabola deb ataladi.
Berilgan nuqtani F orqali belgilab uni parabolaning fokusi deb ataymiz .
Berilgan to’g’ri chiziqni parabolaning Direktrisasi deb ataladi .
Fokusdan direktrisagacha masofani p orqali belgilaymiz va uni parabolaning parametri deb ataymiz
Endi parabolaning tenglamasini keltirib chiqaramiz . Abssissalar o’qini fokusdan direktrisaga perpendikulyar qilib o’tkazib yo’nalishini direkstrisadan fokusga tomon yo’naltiramiz Koordinatalar boshini fokusdan
direktrisagacha masofa FR ning qoq o’rtasiga joylashtiramiz

Talangan koordinatalar sistemasiga nisbatan fokus
Koordinatalarga direktrisa tenglamaga ega bo’ladi .
Faras qilaylik M(x;y) parabolaning ixtiyoriy nuqtasi bo’lsin . Parabolaning tarifiga binoan M nuqtadan direktrisagacha MN masofa undan fokusgacha masofaga teng . MN=MF
= va

ekanligi ravshan
=
Bu tenglamaning har ikkila tomonini kvadratga ko’tarib ixchamlasak.
= + yoki =2 (1.7)
hosil bo’ladi.
Shunday qilib parabolaning istalgan M(x;y) nuqtasining koordinatalari ( 1.7) tenglamani qanoatlantiradi . Parabolada yotmagan hech bir nuqtasining koordinatalari bu tenglamani qanoatitmasligini ko’rastish mumkin.Demak ( 1.7) parabolaning tenglamasi ekan .U parabolaning kanonik tenglamasi deb ataladi . Parabolaning simmetriya o’qi uning fokal o’qi deb ataladi.
Parabolaning simmetriya o’qi bilan kesishish nuqtasi uning uchi deyiladi .