Mavzu: Impuls ta’sirlarning torning majburiy tebranish jarayoniga ta’siri Reja: I. Kirish. II. Asosiy qism

2.1. Torning erkin tebranish tenglamasi uchun qoʻyilgan aralash masalani Fu’re usulida yechish.
Fu’re usuli yoki oʻzgaruvchilarni ajratish usuli xususiy hosilali tenglamalarni yechishda koʻp qoʻllaniladigan usullardan biri hisoblanadi .
Uchlari mahkamlangan bir jinsli torning erkin tebranishi masalasi uchun bir jinsli
, (1)
tor tebranish tenglamasining quyidagi boshlangʻich
(2)
va bir jinsli chegaraviy
(3)
shartlarni qanoatlantiruvchi yechimini topish masalasiga keltiriladi. Bu masalaning yechimini funksiyalar sinfida izlaymiz.
Buning uchun (1) tenglamaning sohada noldan farqli va bir jinsli (3) chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi xususiy yechimlarini
(4)
koʻrinishda qidiramiz .
(4) ifodani (1) tenglamaga qoʻyib, uning oʻzgaruvchilarini ajratsak ushbu

yoki
(5)
tenglikka ega boʻlamiz. Bu tenglikning chap tomoni faqat t oʻzgaruvchiga, oʻng tomoni esa faqat x oʻzgaruvchiga bogʻliq. Shuning uchun (5) tenglik, ikki tomoni ham bitta oʻzgarmas songa teng boʻlgandagina oʻrinli boʻladi. U holda (5) ifodadan ikkita chiziqli ikkinchi tartibli
(6)
(7)
oddiy differensial tenglamalarni olamiz.
Ixtiyoriy da boʻlgani uchun (4) tenglikdan (3) chegaraviy shartlar asosida quyidagi
(8)
shartlar kelib chiqadi.
Shunday qilib, biz funksiyani topish uchun quyidagi masalaga ega boʻldik: parametrning qanday qiymatlarida (7)-(8) chegaraviy masalaning yechimi noldan farqli boʻladi.Bunday masala matematik fizikada spektral masala yoki Shturm-Liuvill masalasi deyiladi.
Shturm-Liuvill masalaning noldan farqli yechimini ta’minlagan parametrning qiymatlari spektral masalaning xos qiymatlari, unga mos yechimlar esa xos funksiyalar deb ataladi. (7) va (8) masalaning xos qiymatlari toʻplami shu masalaning spektri deyiladi.
Endi qaralayotgan spektral masalaning xos qiymatlarini va ularga mos xos funksiyalarini topaylik.
Buning uchun uchta va hollarni alohida-alohida qarab chiqamiz.

1. 
   Faraz qilaylik, boʻlsin. U holda (7) tenglamaning umumiy yechimi
   

koʻrinishida boʻladi. Bu yerda va ixtiyoriy oʻzgarmas sonlar. Shu yechimni (8) bir jinsli chegaraviy shartlarga qoʻysak, va oʻzgarmaslarni topish uchun quyidagi

tenglamalar sistemasiga ega boʻlamiz .
Bu sistemaning asosiy determinanti noldan farqli va u yagona trivial yechimga ega, ya’ni
Demak, bu holda boʻladi va bu yechim masala shartini qanoatlantirmaydi.

2. 
   Endi boʻlsin.U holda (7) tenglamaning umumiy yechimi
   

va (8) shartlarga asosan boʻladi. Demak, bu yechim ham masala shartini qanoatlantirmaydi.

3. 
   Faraz qilaylik, boʻlsin.U holda (7) tenglamaning umumiy yechimi
   

koʻrinishda boʻladi. Oxirgi ifodani (8) chegaraviy shartlarga qoʻysak,

sistemaga ega boʻlamiz.Bundan ekanligi kelib chiqadi.
Endi deb olamiz,aks holda yana boʻladi. Shuning uchun, bundan esa kelib chiqadi.
Shunday qilib, (7)-(8) masalaning noldan farqli yechimi faqatgina
qiymatlarda mavjud va bu qiymatlar qaralayotgan masalaning xos qiymatlari deyiladi.Bu qiymatlarga mos xos funksiyalar

koʻrinishida boʻladi.
Endi topilgan qiymatlarda (6) tenglamaning umumiy yechimi

koʻrinishda topiladi,bunda - ixtiyoriy oʻzgarmas sonlar.
Topilgan va funksiyalarni (4) formulaga qoʻyib, ushbu

funksiyani olamiz. Bu funksiyalar va koeffitsiyentlarning ixtiyoriy qiymatlarida (1) tenglamani va (3) bir jinsli chegaraviy shartlarni qanoatlantiradi.
(1) tenglama chiziqli va bir jinsli boʻlgani uchun yechimlarning chekli yigʻindisi ham tenglamani qanoatlantiradi va u quyidagi
(9)
qator uchun ham oʻrinli. Agar bu qator tekis yaqinlashuvchi boʻlsa u holda bu qatorni boʻyicha va boʻyicha ikki marta differensiallash mumkin. (9) qatorning har bir hadi (1) bir jinsli tenglamani va bir jinsli (3) chegaraviy shartlarni qanoatlantiradi. Bu shart (9) formula bilan aniqlangan qatorning yigʻindisi, ya’ni uchun ham oʻrinli.
Endi ixtiyoriy va oʻzgarmas sonlarni topamiz. Buning uchun (9) formula bilan aniqlangan funksiya (2) boshlangʻich shartlarga qoʻyamiz.
(9) formulani boʻyicha differensiallab ushbu
(10)
tenglikni olamiz. Endi (9) va (10) ifodalarda deb, (2) boshlangʻich shartlarga asosan
(11)
ifodaga ega boʻlamiz. Bu tengliklar va funksiyalarning oraliqdagi sinuslar boʻyicha Fu‘re qatoriga yoyilmalaridir.
U holda Fu‘re qatorlari nazariyasiga asosan va koeffitsiyentlar quyidagi
(12)


(13)
formulalar bilan aniqlanadi.
Shunday qilib, bir jinsli tor tebranish tenglamasi uchun aralash masalaning yechimi (9) qator koʻrinishida boʻlib, undagi va koeffitsiyentlar mos ravishda (12) va (13) formulalar orqali topiladi.