Mavzu: Impuls ta’sirlarning torning majburiy tebranish jarayoniga ta’siri Reja: I. Kirish. II. Asosiy qism

2.2.Chegaralangan torning majburiy tebranish tenglamasi.
Bir jinsli, chetlari mustahkamlangan torning tashqi kuch ta’sirida majburiy tebranishini tekshiramiz. Bu masala ushbu
(1)
tenglamaning
(2)
chegaraviy shartlarni, hamda
(3)
boshlangʻich shartlarni qanoatlantiruvchi yechiminni topishdan iboratdir. Bu masalaning yechimini

koʻrinishida izlaymiz, bunda funksiyasi (1) tenglamaning (2) chegaraviy va
(4)
boshlangʻich shartlarni qanoatlantiruvchi yechimi esa
(5)
bir jinsli tenglamaning (2) va (3) shartlarni qanoatlantiruvchi yechimidan iboratdir.(1), (2), (4) masalaning yechimini quyidagi qator koʻrinishida izlaymiz.
(6)
Agar bu qator tekis yaqinlashuvchi boʻlsa, (2) chegaraviy shartlar oʻz-oʻzidan qanoatlantiriladi. Endi funksiyalarni shunday aniqlaymizki, (6) qator (1) tenglamani va (4) boshlangʻich shartlarni qanoatlantirsin. Shu maqsadda (6) qatorni (1) tenglamaga qoʻyib, ushbu
(7)
tenglikni hosil qilamiz, bunda

funksiyani intervalda sinuslar boʻyicha Fur’e qatoriga ajratamiz.
(8)
bunda
(9)
(7) va (8) yoyilmalarni taqqoslab, funksiyalarni aniqlash uchun oʻzgarmas koeffitsentli
(10)
oddiy differentsial tenglamani hosil qilamiz. (6) qator bilan aniqlangan funksiyasi (4) boshlangʻich shartlarni ham qanoatlantirishi uchun funksiyalari
(11)
shartlarni qanoatlantirishi yetarlidir. (10) tenglamaning (11) shartlarni qanoatlantiruvchi yechimi ushbu

formula bilan aniqlanadi, yoki oʻrniga uning (9) ifodasini qoʻysak, quyidagini hosil qilamiz
(12)
funksiyalarning bu qiymatlarini (6) tenglikka qoʻygandan soʻng hosil boʻlgan qator va bu qatorni va boʻyicha ikki nmarta hadlab differensiallash natijasida hosil boʻlgan qatorlar tekis yaqinlashuvchi boʻlsa, u holda (6) qator (1), (2), (3) masalaning yechimidan iborat boʻladi.
Agar uzluksiz funksiya boʻyicha ikkinchi tartibgacha hosilaga ega boʻlib, ning barcha qiymatlarida

shart bajarilsa, yuqorida aytilgan qatorlarning tekis yaqinlashuvchi boʻlishini koʻrsatish qiyin emas.
Shunday qilib (1), (2) va (3) masalaning yechimi ushbu qator bilan ifodalanadi

bunda

koeffitsentlari esa (12) formulalar bilan aniqlanadi.