Mavzu: Laplas almashtirish, uning xossalari. Orginallar sinfi, tasvirlar sinfi. Operatsion hisobning asosiy teoremalari. Orginalni tasvir bo`yicha tiklash usullari. Reja

Mavzu: Laplas almashtirish, uning xossalari. Orginallar sinfi, tasvirlar sinfi. Operatsion hisobning asosiy teoremalari. Orginalni tasvir bo`yicha tiklash usullari.
Reja:

1. Laplas almashtirish.
2. Operatsion hisobning asosiy teoremalari.
3. Orginalni tasvir bo`yicha tiklash usullari.

Laplas almashtirishi

Haqiqiy o’zgaruvchili ƒ(𝑡) funksiyaning Laplas almashtirishi deb
𝐹⁽𝑝⁾ = ∫ ƒ(𝑡)𝑒^−𝑝𝑡𝑑𝑝 (1)
formula bilan aniqlanuvchi kompleks o’zgaruvchili 𝐹⁽𝑝⁾ funksiyaga aytiladi, bu
yerda 𝑝 = 𝑠 + i𝑟.
Integral kompleks 𝑝 parametrga bog’liq bo’lib, unga Laplas integrali deyiladi.
ƒ(𝑡) funksiya qanday shartlarni qanoatlantirishi kerakki, (1) xosmas integral yaqinlashuvchi bo’lib haqiqatan ham biror 𝐹⁽𝑝⁾ funksiyani aniqlasin?
Faraz qilaylik quyidagi shartlar bajarilsin:

1. 
   ƒ(𝑡) funksiya 𝑡 ≥ 0 da bo’lakli uzluksiz, demak funksiya uzluksiz yoki faqat birinchi tur uzilishga ega (har bir chekli oraliqda uzilishlar soni chekli);
   
2. 
   Barcha 𝑡 < 0 larda ƒ⁽𝑡⁾ = 0;
   
3. 
   𝑡 → +∞ da ^|ƒ⁽𝑡^)| funksiyaning o’sishi ko’rsatgichli funksiyadan oshmaydi, ya’ni shunday 𝑀 > 0 va 𝑠 mavjudki, barcha 𝑡 larda
   

^|ƒ⁽𝑡^)| ≤ 𝑀𝑒^𝑠𝑡 (2)

2. 
   tengsizlik o’rinli bo’ladigan barcha 𝑠 qiymatlarning quyi chegarasi 𝑠₀
   

qiymatga funksiya o’sishining ko’rsatgichi deb ataladi.
3-shart Laplas integrali yaqinlashishini ta’minlaydi. Bu shartni barcha chegaralangan funksiyalar, shuningdek barcha 𝑡^𝑘 (𝑘 > 0) darajali funksiyalar qanoatlantiradi.

Original va tasvir

1-Ta’rif. 1-3 shartlarni qanoatlantiruvchi ixtiyoriy ƒ⁽𝑡⁾ funksiya original deb ataladi; (1) foormula bilan aniqlanuvchi 𝐹⁽𝑝⁾ funksiya esa ƒ⁽𝑡⁾ funksiyaning tasviri deb ataladi
Original va unga mos tasvir orasidagi bog’lanishni
ƒ⁽𝑡⁾ ➛ 𝐹⁽𝑝⁾, 𝐹⁽𝑝⁾ → ƒ⁽𝑡⁾ yoki 𝐿^[ƒ⁽𝑡^)] = 𝐹⁽𝑝⁾
ko’rinishda belgilaymiz.
Shuni ta’kidlash lozimki, fizik jarayonlarni ifodalaydigan funksiyalarning aksariyati 1-3 shartlarni qanoatlantiradi.
Operatsion hisobning ustunlik jihati shundaki, differensiallash amali ko’paytirish bilan, integrallash esa bo’lish bilan almashinadi.

1, 𝑡 ≥ 0
Operatsion hisob va uning tadbiqlari uchun muhim bo’lgan ba’zi funksiyalarning tasvirlarini topishga doir misollar qaraymiz.

Teorema. Har qanday ƒ⁽𝑡⁾ original funksiya uchun, Re𝑝 > 𝑠₀ yarim tekislikda (1) tenglik bilan aniqlanuvchi 𝐹(𝑝) tasvir funksiya mavjud va ushbu yarim tekislikda 𝐹(𝑝) analitik funksiyadan iborat, bu yerda 𝑠₀ − original funksiyaning o’sish ko’rsatgichi.

• 
  Original funksiya ta’rifining 3-shartiga ko’ra ^|ƒ⁽𝑡^)| ≤ 𝑀𝑒^𝑠0𝑡. Agar
  

𝑝 = 𝑠 + i𝑟 bo’lsa ^|𝑒^−𝑝𝑡| = 𝑒^−𝑠𝑡, shuning uchun
_{|ƒ(𝑡)𝑒}−𝑝𝑡_{| ≤ 𝑀𝑒}𝑠₀𝑡_𝑒−𝑠𝑡 _{= 𝑀𝑒}−⁽𝑠−𝑠₀⁾𝑡

𝐹⁽𝑝⁾ = 0

Operatsion hisobning asosiy teoremalari

Bevosita ta’rif yordamida tasvirni topish har doim ham mumkin bo’lavermaydi, chunki hisoblanishi kerak bo’lgan integral murakkablashib ketishi mumkin. Biz Laplas almashtirishining shunday xossalariga to’xtalamizki, ular bir qancha sinfdagi funksiyalarning tasvirini topish imkonini beradi. Bundan tashqari ular tasvir ma’lum bo’lsa, originalni tiklash usullarini ifodalaydi.

1. 
   Teorema. (Originalning yagonaligi) Agar ƒ₁(𝑡) va ƒ₂(𝑡) funksiyalarning tasvirlari o’zaro teng bo’lsa, bu funksiyalar uzluksiz bo’ladigan barcha 𝑡 > 0 nuqtalarda ustma ust tushadi.
   
2. 
   Teorema. (Chiziqlilik) Agar ƒ(𝑡) ➛ 𝐹(𝑝) va 𝑔(𝑡) ➛ 𝐺(𝑝) bo’lsa, u holda ixtiyoriy 𝜆 va 𝜇 kompleks sonlari uchun
   

𝜆ƒ⁽𝑡⁾ + 𝜇𝑔⁽𝑡⁾ ➛ 𝜆𝐹⁽𝑝⁾ + 𝜇𝐺⁽𝑝⁾

• 
  Ta’rif bo’yicha 𝜆ƒ⁽𝑡⁾ + 𝜇𝑔⁽𝑡⁾ funksiyaning originalini integralning chiziqliligidan foydalanib topamiz
  

𝐿^[𝜆ƒ⁽𝑡⁾ + 𝜇𝑔⁽𝑡^)] = ∫ ^[𝜆ƒ⁽𝑡⁾ + 𝜇𝑔⁽𝑡^)]𝑒^−𝑝𝑡𝑑𝑡 =
= 𝜆∫ ƒ⁽𝑡⁾𝑒^−𝑝𝑡𝑑𝑡 + 𝜇∫ ƒ⁽𝑡⁾𝑒^−𝑝𝑡𝑑𝑡 = 𝜆𝐹⁽𝑝⁾ + 𝜇𝐺⁽𝑝⁾. ◄

3. 
   Teorema. (O’xshashlik) Agar ƒ(𝑡) ➛ 𝐹(𝑝) bo’lsa, u holda ixtiyoriy
   

ƒ^(𝑎𝑡^)➛ ^1𝐹 (^𝑝) 𝑎 𝑎

(5)

𝑎 > 0 uchun

4. 
   Teorema. (Siljish) Agar ƒ⁽𝑡⁾ ➛ 𝐹⁽𝑝⁾, 𝑎 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 bo’lsa, u holda
   

𝑒^𝑎𝑡ƒ⁽𝑡⁾ ➛ 𝐹⁽𝑝 − 𝑎⁾ (6)

• 
  Ta’rif bo’yicha 𝑒^𝑎𝑡ƒ⁽𝑡⁾ ning tasvirini topamiz
  

𝐿^[𝑒^𝑎𝑡ƒ⁽𝑡^)] =
𝐿^[𝑒^𝑎𝑡ƒ⁽𝑡^)] = ∫ 𝑒^𝑎𝑡ƒ⁽𝑡⁾𝑒^−𝑝𝑡𝑑𝑡 = ∫ ƒ⁽𝑡⁾𝑒^{−(𝑝−𝑎)𝑡}𝑑𝑡 = 𝐹⁽𝑝 − 𝑎⁾.◄
Demak, siljish teoremasiga ko’ra originalni 𝑒^𝑎𝑡 ga ko’paytirish, tasvir argumentining 𝑎 qiymatga siljishiga olib kelar ekan. Bu teorema yordamida, agar ƒ⁽𝑡⁾ funksiyaning tasviri ma’lum bo’lsa, 𝑒^𝑎𝑡ƒ⁽𝑡⁾ funksiyaning tasvirini topish mumkin.


LAPLAS ALMASHTIRISHLARINING CHIZIQLI DIFFERENSIAL TENGLAMALARNI YECHISHGA QOʻLLANILISHI.


Oʻzgarmas koeffitsiyentli oddiy chiziqli differensial tenglamalar uchun Koshi masalasini yechish.
Quyidagicha differensial tenglamani koʻrib chiqamiz:
(1)
Quyidagicha boshlangʻich shartlarni bajaruvchi (1) tenglamaning yechimini qidiramiz:
, … , (2)
Aytaylik ; boʻlsin. (1) ni ikkala tomoniga Laplas almashtirishini va aslni differensiallash teoremasi, hamda Laplas almashtirishini chiziqlilik xossasiga koʻra, (2) boshlangʻich shartli (1) differensial tenglamani oʻrniga operator tenglamaga ega boʻlamiz:
(3)
Operator tenglamaning yechimini topamiz:
(4)
X(p) tasvir boʻyicha x(t) aslni topib, (1) va (2) Koshi masalasi yechimi x(t) ni topamiz.
Misol 1. ; x(0)=1; ; x(t)-?
u holda


kasrni soda kasrlarga yoyamiz:
; A, B, C-koeffitsiyentlarni topamiz.



Demak yechim
Oʻzgarmas koeffitsiyentli n-tartibli chiziqli differensial tenglamani yechish talab qilingan boʻlsin
; (1)
0 ga teng boʻlgan boshlangʻich shartlarda
(5)
yechimini topish talab qilinsin. Aytaylik
L(x)=1 (6)
tenglamaning (2) shartlarni bajaradigan yechimi aniq boʻlsin. Operator tenglamaga oʻtamiz:
, (7)
(8)
Operator koʻrinishdagi (7) va (8) tenglamalardan

Dyumel formulasiga koʻra:
(9)
ekanligini eʼtiborga olib
(10)
bundan (1) tenglamaning (5) nol boshlangʻich shartlardagi x(t) yechimi, quyidagicha boʻladi:
(11)
bunda (6) va (5) yordamchi masala yechimi.
Misol. Dyumel formulasi yordamida boshlangʻich shartlarni bajaruvchi differensial tenglamaning yechimi topilsin.
Yordamchi masalani koʻrib chiqamiz:

Operatsion usuldan foydalanib, , , 1

ekanligini topamiz, undan esa

u holda (11) formulaga koʻra
=

CHIZIQLI DIFFERENSIAL TENGLAMALAR SISTEMASINI OPERATSION USULDA YECHISH
Oʻzgarmas koeffitsiyentli chiziqli differensial tenglamalar sistemasini operator yordamida yechish sxemasi, bitta differensial tenglamani yechish kabidir.


Misol: Quyidagicha differensial tenglamalar sistemasini yeching

Agar , , u holda ;
; va quyidagicha operatorli sistemaga oʻtamiz:
ushbu sistemani yechib
u holda X(p) va Y(p) lar uchun asllar quyidagicha koʻrinishni oladi:

Agar funksiya biror nuqtaning atrofida analiktik bo‘lsa ga nisbatan musbat darajali quyidagi qatorga yoyish mumkin:

Bundan larni topib, uning nuqtadagi qiymatilarini topsak, ular quyidagicha bo‘ladi:


Teylor qatori hosil bo‘ladi. Agar bo‘lsa tenglikdan Makloren qatorini hosil qilamiz: . larni Koshining ushbu integral forumlalaridan topish mumkin:
Teylor qatori doirada, Maklaren qatori esa doirada yaqinlashuvchi bo‘ladi. Loran qatori tushunchasi. Aytaylik, funksiya ushbu s ohada golomorf bo’lsin, bunda r 0, R . K sohada ixtiyoriy z nuqta olib, uni tayinlangan dеb qaraymiz. So’ng shunday
sohani (halqani) olamizki, bunda bo’lib, z K₁ bo’lsin. Ravshanki, bu xolda bo’ladi.