mavzu: Matematik analizning tatbiqiy masalalar Reja: Funksiya hosilasi va uning tadbiqlari

mavzu: Matematik analizning tatbiqiy masalalar Reja: Funksiya hosilasi va uning tadbiqlari

1-Mavzu: Matematik analizning tatbiqiy masalalar

Reja:

1 Funksiya hosilasi va uning tadbiqlari

2 Differensiallashning asosiy qoidalari va tadbiqlari

3 Hosilani tengsizliklarni isbotlashga tatbiqi
O’quv mashg’ulotining maqsadi: Matematik analizning tatbiqiy masalalari bo’yicha talabalar bilimini oshirish, talabalarda hosila, funksiyani hayotga tatbiqlarini o’rgatish.
Tayanch tushunchalari:Funksiya, funksiya xosilasi, Differensiallash, Murakkab funksiyaning, hosila, Hosilaning geometrik va mexanik ma‘nosi.

Funksiya hosilasi va uning tadbiqlari.

1. Hosila tushunchasiga olib keladigan masalalar.
Hosila tushunchasiga olib keladigan masalalar jumlasiga qattiq jismni to‘g‘ri chiziqli harakatini, yuqoriga vertikal holda otilgan jismning harakatini yoki dvigatel silindridagi porshen harakatini tekshirish kabi masalalarni kiritish mumkin. Bunday harakatlarni tekshirganda jismning konkret o‘lchamlarini va shaklini e‘tiborga olmay, uni harakat qiluvchi moddiy nuqta shaklida tasavvur qilamiz. Biz bitta masalani olib qaraymiz.

Harakat tezligi masalasi. Aytaylik, M moddiy nuqtaning to‘g‘ri chiziqli harakat qonuniga ko‘ra uning t=t₀ paytdagi tezligini (oniy tezligini) topish talab qilinsin. Nuqtaning vaqtlar orasidagi bosib o‘tgan yo‘li bo‘ladi. Uning shu vaqtdagi o‘rtacha tezligi ga teng.

Ma‘lumki, qanchalik kichik bo‘lsa, o'rtacha tezlik nuqtaning t₀ paytdagi tezligiga shunchalik yaqin bo‘ladi. Shuning uchun nuqtaning t₀ paytdagi tezligi quyidagi limitdan iborat.


2. Fuksiya hosilasi.

y=f(x) funksiya (a,b) intervalda aniqlangan bo‘lsin (a,b) intervalga tegishli x₀ va x₀+ nuqtalarni olamiz.

Argument biror (musbat yoki manfiy - bari bir) orttirmasini olsin, u vaqtda y funksiya biror orttirmani oladi. Shunday qilib argumentning x₀ qiymatida y₀=f(x₀) ga, argumentning x₀+ qiymatdaga ega bo‘lamiz. Funksiya orttirmasi ni topamiz.

Funksiya orttirmasini argument orttirmasiga nisbatini tuzamiz.

Bu – nisbatning 0 dagi limitini topamiz.

Agar bu limit mavjud bo‘lsa, u berilgan f(x) funksiyaning x₀ nuqtadagi hosilasi deyiladi va bilan belgilanadi. Shunday qilib, ta'rifga ko‘ra yoki

Demak, berilgan y=f(x) funksiyaning argument x bo‘yicha hosilasi deb, argument orttirmasi ixtiyoriy ravishda nolga intilganda funksiya orttirmasi ning argument orttirmasi ga nisbatining limitiga aytiladi.
Umumiy holda x ning har bir qiymati uchun hosila ma'lum qiymatga ega, ya’ni hosila ham x ning funksiyasi bo‘lishini qayd qilamiz. Hosilada belgi bilan birga boshqacha belgilar ham ishlatiladi.
Hosilaning x=a dagi konkret qiymati yoki bilan belgilanadi.
Funksiya hosilasini hosila ta'rifiga ko‘ra hisoblashni ko`ramiz.