mavzu: Matematik analizning tatbiqiy masalalar Reja: Funksiya hosilasi va uning tadbiqlari

Misol: funksiyaning hosilasini toping.

Yechish: berilgan funksiyani murakkab funksiya deb qaraymiz ya’ni (1) formulaga asosan

;

Differensiallashning asosiy formulalari jadvali:

1) y=const ; 2)
3) 4)
5) 6)
7) 8)
9) 10)

11) 12)

isollar.

1) funksiyaning hosilasini toping.

Yechish: Bu yerda va U holda

2)

3)

4) – ?

5)

4. Hosilaning geometrik va mexanik ma‘nosi.
Bizga berilgan u=f(x) funksiya x nuqta va uning atrofida aniqlangan bo’lsin. Argument x ning biror qiymatida u=f(x) funksiya aniq qiymatga ega bo’ladi, biz uni M₀(x, u) deb belgilaylik. Argumentga Dx orttirma beramiz va natija funksiyaning u+Du=f(x+Dx) orttirilgan qiymati to’g’ri keladi. Bu nuqtani M₁(x+Dx, u+Du) deb belgilaymiz va M₀ kesuvchi o’tkazib uning OX o’qining musbat yo’nalishi bilan tashkil etgan burchagini j bilan belgilaymiz.

Endi nisbatni qaraymiz. Rasmdan ko’rinadiki, (1) ga teng.

Agar Dx®0 ga, u holda M₁ nuqta egri chiziq bo’yicha harakatlanib, M₀ nuqtaga yaqinlasha boradi. M₀M₁ kesuvchi ham Dx®0 da o’z holatini o’zgartira boradi, xususan j burchak ham o’zgaradi va natijada j burchak a burchakka intiladi. M₀M₁ kesuvchi esa M₀ nuqtadan o’tuvchi urinma holatiga intiladi. Urinmaning burchak koeffitsienti quyidagicha topiladi

(2)
Demak, , ya’ni, argument x ning berilgan qiymatida hosilaning qiymati f(x) funksiyaning grafigiga uning M₀(x, u) nuqtasidagi urinmaning OX o’qining musbat yo’nalishi bilan hosil qilgan burchak tangensiga teng.

Hosilani tengsizliklarni isbotlashga tatbiqi

Ta’rif: funksiya oraliqda aniqlangan bo’lsin. Agar ixtiyoriy tengsizliklarni qanoatlantiradigan nuqtalar uchun tengsizlik bajarilsa u,holdafunksiyaoraliqda o’suvchi kamayuvchi funksiya deyiladi, oraliq esa monotonlik oralig’i deb yuritiladi.

Ta’rif: funksiya oraliqda aniqlangan bo’lsin. Agar ixtiyoriy tengsizliklarni qanoatlantiradigan nuqtalar uchun tengsizlik bajarilsa u,holdafunksiyaoraliqda qat’iy o’suvchi kamayuvchi funksiya deyiladi.

Teorema: funksiya oraliqda aniqlangan va defferensiallanuvchi bo’lsin. funksiya intervalda o’suvchi (kamayuvchi) bo’lishi uchun shu intervalda tengsizlik bajarilishi zarur va yetarli.
1-masala. sonlarni taqqoslang?

Yechilishi f:funksiyani qaraymiz.Uning hosilasi barchalardamanfiy qiymatni qabul qiladi va f funksiya

Da uzluksiz shunday qilib f da kamayadi. Bu yerdaekanligini hisobga olibniolamiz.
Demak, .
2-masala.tengsizlikni isbotlang.

Yechilishi: Ikkala qismining juftligidanholni qarash yetarli.Bundan tashqariholni o’rganish yetarli.Shu maqsaddafunksiyani qaraylik. F funksiyani hosilasi.

Cosinusning chegaralanganligidan deb hisoblaymiz. Bu yerdan f funksiya o’zining aniqlanish sohasida monoton o’suvchi bo’lishi kelib chiqadi va shuning uchuntengsizlik o’rinli bo’ladi. Bu yerdan esa berilgan tengsizlik kelib chiqadi.
3-masala.Agar bo’lsa uholdatengsizlik o’rinli bo’lishini isbotlang.

Yechilishi. ko’rinishdagifunksiyani qaraymiz, bu yerda a,b,c lar a>b>c tengsizliklarni qanoatlantiradigan haqiqiy parametrlar. f funksiyaningda qat’iy o’suvchi bo’lishini avvalgi masalalardagidek isbotlanadi va shunday qilibtengsizliko’rinli. Ohirgi tengsizlik berilgan tengsizlikka teng kuchli.

4masala. (Bernulli tengsizligi) Ixtiyoriyuchuntengsizlik o’rinli shu bilan birga tenglik o’rinli faqat x=0.

Yechilishi.funksiyani qaraymiz,bu yerda a-fiksirlangan1dan katta son. Bu funksiya hosilasini hisoblaymiz.

shartdan uchunva ekanligi kelib chiqadi .Demakfunksiyada kamayadi va da o`sadi. Bundan barcha lar uchuntengsizlik o’rinli, ya’niva
Deb hulosa chiqaramiz. tenglik x=0 deb eslatib o’tish qolyapti.

Izoh._,

<sub>.

Tengsizliklar shunga o’xshash isbotlanadi</sub>
http://hozir.org