Mavzu: xarakteristik funksiyalar va har XIL tipdagi taqsimotlar

Teorema (Boxner – Xinchin). Uzluksiz va shartni qanoatlantiruvchi funksiya biror taqsimotning xarakteristik funksiyasi bo‘lishi uchun, uning manfiy bo‘lmagan aniqlangan bo‘lishi, ya’ni hamma haqiqiy va kompleks sonlar uchun ( -kompleks sonning qo‘shmasi)

tengsizlik bajarilishi yetarli va zaruriy shartdir.

Qayd qilib o‘tamizki, keltirilgan shartning zaruriyligi oson ko‘rinadi. Haqiqatan ham, bo‘lsa,

Bu paragrafda ehtimolliklar nazariyasida ko‘p uchraydigan taqsimotlarning xarakteristik funksiyalarini hisoblab topamiz.

Uzluksiz tipdagi tasodifiy miqdor normal (yoki Gauss) taqsimotga ega deyiladi, agar taqsimotning zichlik funksiyasi quyidagicha bo‘lsa,

,

parametr, .

Oldin parametri (0,1) bo‘lgan standart normal taqsimotning

(1)

xarakteristik funksiyasini hisoblaylik.

1. 
   tenglikni differensiallab ( bo‘yicha),
   

tenglikni hosil qilamiz va unda bo‘laklab integrallashni amalga oshirsak,

munosabatni olamiz. Demak, standart normal taqsimotning xarakteristik funksiyasi

(2)

differensial tenglamani boshlang‘ich shart bilan qanoatlantirar ekan. Bu tenglamani yechib,

(3)

tenglikni olamiz.

Endi parametri bo‘lgan normal taqsimotning xarakteristik funksiyasini topaylik. Agar deb, xarakteristik funksiyasi (3) bo‘lgan standart normal qonun bilan taqsimlangan tasodifiy miqdorni belgilasak, parametri bo‘lgan normal taqsimotga ega bo‘lgan tasodifiy miqdor ni

ko‘rinishda yozish mumkin. Demak,

formula o‘rinli bo‘ladi.

Bu holda taqsimot uzluksiz tipda bo‘lib, uning zichlik funksiyasi

Mos xarakteristik funksiya

Ba’zi xususiy hollarni eslatib o‘tamiz:

1) bo‘lsa

2) bo‘lsa

.

Bu holda zichlik funksiyasi

.

Bu zichlik funksiyasiga mos kelgan xarakteristik funksiyani deb belgilaylik. Oldin quyidagi faktni tasdiqlab o‘tamiz: oson ko‘rinadiki, zichlik funksiya, va funksiyalarning kompozitsiyasidan iborat. Demak,

.

Oxirgi integral Eylerning -integrali nomi bilan ma’lum va u funksiya bilan

munosabatda bo‘ladi. Demak,

tenglik o‘rinli bo‘ladi.

O‘z navbatida

ekanligini olamiz. Oldin bo‘lgan holda,

integralni hisoblaymiz. Bo‘laklab integrallash orqali

tenglikni hosil qilamiz va undan

(5)

bo‘lishini topamiz.

Har qanday uchun (4) va (5) lardan

tenglikni olamiz va ularga asoslanib,

,

tengliklarni yoza olamiz. Demak, har qanday ratsional uchun

(6)

o‘rinli bo‘ladi. Zichlik funksiya parametr ga nisbatan ham uzluksiz funksiya bo‘lgani uchun

va demak,

.

Shunday qilib (6) formula hamma uchun o‘rinli bo‘lishiga ishonch hosil qilamiz. Agar kasr son bo‘lsa, ko‘p qiymatli (6) funksiyadan shartni qanoatlantiruvchi bir qiymatli “shox” ajratib olinadi.

(,F,P) ehtimollik fazosida  tasodifiy miqdor berilgan bo`lsin.

Ta`rif: tasodifiy miqdorning matematik kutilmasiga  tasodifiy miqdorning xarakteristik funksiyasi deyiladi va kabi belgilanadi, bu yerda t haqiqiy son.

Agar tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi bo`lsa,

bo`ladi.

Agar zichlik funksiyaga ega bo`lgan uzluksiz tasodifiy miqdor bo`lsa,

bo`ladi, bu esa funksiya uchun Fure almashtirishdir.

Agar diskret bo`lsa, .

ekanligidan ixtiyoriy  tasodifiy miqdorning xarakteristik funksiyasi mavjudligi kelib chiqadi. Bog`liq bo`lmagan tasodifiy miqdorlar yig`indisi taqsimotini o`rganishda xarakteristik funksiyalar usuli qulay usullardan hisoblanadi.

Xarakteristik funksiyasining xossalarini qarab chiqamiz.