Məktəb həndəsə kursunun təkmilləşdirilməsi və ikilik prinsipi g I r I Ş

Üçbucaq ədədlər: 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28,......



Şək.28

Bu sıra necə alınır? 1+2=3, 3+3=6, 6+4=10, 10+5=15, 15+6=21, 21+7=28 və s. Məsələnin həndəsi interpretasiyası isə belədir: (şək.28)

1 nöqtə, 3 nöqtə, 6 nöqtə, 10 nöqtənin köməyilə üçbucaqlar qursaq, şəkil 28-dəki təsvir alınar.
Bu məsələ ilə məşğul olan pifaqorçular əvvəlcə 3 kiçik daşdan üçbucaq düzəldir, sonra 3 daş da əlavə edərək, yəni üçbucağın hər tərəfini 2 dəfə artırmaqla əvvəlkinə oxşar olan 2-ci üçbucağı alır, daha sonra tərəfi 3 dəfə artırmaqla 10 daşın köməyilə növbəti üçbucağı düzəldir və s.
Kvadrat ədədlər. 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, .....
Bu ədədlər ardıcıl natural ədədlərin kvadratlarıdır. Həndəsi olaraq qurmaq üçün əvvəlcə 1 nöqtə qeyd edilir, sonra daha 3 nöqtə qeyd edilərək kvadrat qurulur, bir nöqtədən başlamaqla kvadratın iki tərəfi özü qədər uzadılır və ikinci kvadrat qurulur və s. (şək.29)
Şək.29


Beşbucaqlı ədədlər. 1, 5, 12, 22, 35, 51, .....
Bu ədədləri almaq üçün aşağıdakı əməlləri icra etmək lazım gəlir:
1+4=5, 5+7=12, 12+10=22, 22+13=35, 35+16=51,.....
Həndəsi olaraq beşbucaqlı ədədlərin qurulması da prinsip etibarilə eyni üsulla icra edilir. Əvvəlcə 1 nöqtə qoyulur, sonra daha 4 nöqtə qoyularaq beşbucaqlı çəkilir, tərəflərini iki dəfə uzadaraq ona oxşar beşbucaqlı qurulur,
3 dəfə uzadaraq növbəti beşbucaqlı və s. qurulur. (şək.30)
Natural ədədlərlə (müstəvi) fiqurlu ədədlərin əlaqələrinin çox maraqlı xassə­ləri vardır. P.Ferma – fransalı icti­mai xadim, hüquqşünas və riyaziy­yatçı bu ədədlərin aşağıdakı xassələrini qeyd etmişdir:

1. 
   
   Şək.30
   Hər bir N natural ədəd ya üçbucaq ədəddir, ya da 2 və ya 3 üçbu­caq ədədin cəminə bərabərdir. Məsə­lən, 18=9+9, 35= 25+9+1
   
2. 
   Hər bir N natural ədəd ya kvadrat ədəddir, ya da 2, 3 və ya 4 kvadrat ədədin cəminə bərabərdir, hər bir N natural ədəd ya beşbucaq ədəddir, ya da 2, 3, 4 və ya 5 beşbucaqlı ədədin cəminə bərabərdir.
   
3. 
   Ümumiyyətlə, hər bir natural ədəd n-dən çox olmayan n bucaqlı ədədin cəminə bərabərdir.
   

B.e. ə. III əsrdə yaşamış Diofant üçbucaq və kvadrat ədədlərin əlaqəsini müəyyən edən düsturu vermişdir:
8T+1=K (T- üçbucaq, K – kvadrat ədədlərdir)

O.A.Volberq özünün “Proyektiv həndəsənın əsas ideya­ları“ kitabında düz xətt, müstəvi və fəzanı ədədlərlə ifadə edərək, “aid olma”, “üzərində olma” münasibətlərini ədədlər vasitəsilə təsvir etmişdir. Məktəb həndəsə kursu proqramına daxil olmasa da, bu ideyanın orijinallığı və sadəliyi həndəsənin tədrisi prosesinə marağın artırılması üçün uğurlu ideya sayıla bilər. Fənnə marağın artırılması isə, məlum faktdır ki, tədris prosesində ən başlıca məsələdir. Çünki həndəsənin tədrisində müəllimlərin rastlaşdıqları ən ciddi çətinlik sinifdəki şagirdlərin böyük qisminin həndəsə fənninə marağının olmamasıdır. Halbuki həndəsə öz orijinallığı və praktikliyi baxımdan heç də digər fənlərdən geri qalmır. Müəllim fəaliyyəti məhz bu istiqamətə yönələrsə, həndəsənin tədrisində müəyyən qədər irəliləyiş əldə oluna bilər. Nəzərə alsaq ki, müasir dövrdə O.A.Volberqin təklif etdiyi bu fikir həndəsi anlayışların ədədlər vasitəsilə qurulan riyazi modeli ola bilər, həmin ideyanın səmərəliliyi daha çox aydın olar.

Volberqin təklif etdiyi model aşağıdakı kimidir.
1-dən 7-yə qədər ədədləri aşağıdakı qaydada düzək.
1 2 3
1 4 5
1 6 7
2 4 6
2 5 7
3 5 6
3 4 7
Sonlu sayda nöqtələrə malik fəzada hər bir ədədə nöqtə kimi baxaq. Doğrudur, nöqtələr düz xətlərə oxşamır, həndəsi olaraq nöqtə və düz xətt tamamilə fərqli anlayışlardır, lakin məlumdur ki, müxtəlif xarakterli əşyalar eyni həndəsi xassəyə və ya eyni formaya malik ola bilərlər. Məsələn, top və qlobus – müxtəlif xarakterə və tətbiq sahəsinə malik olsalar da, hər ikisi kürə formasındadır.
Hər sətirdəki ədədlərə düz xətt üzərində həmin ədədlər olan sıra kimi baxaq. Aşağıdakı aksiomları nəzərdən keçirək.

1. 
   İxtiyari iki nöqtədən yalnız və yalnız bir düz xətt keçir.
   

Bu aksiomu yazdığımız sırada yoxlamaq üçün 3 və 5 ədədlərinin hər ikisinin yerləşdiyi sıraları tapaq. Belə sıra 6-cı sətirdə yerləşir.
3 5 6
6 və 2 ədədlərini götürsək, bu ədədlərin 4-cü sətirdə yerləşdiyini taparıq.
2 4 6
Bu sətirdən başqa digər bir sətirdə hər iki ədəd yoxdur. Bu qayda ilə 1-dən 7-yə qədər bütün ədədləri iki-iki götürərək, aşağıdakı nəticəni almış olarıq.
İki düz xətt bir nöqtədə kəsişir. Və yaxud, iki düz xəttin bir ortaq nöqtəsi vardır.
İndi isə iki düz xətt götürək. Məsələn, (1,4) və (2,7). 2-ci və 5-ci sətirlər - (1, 4, 5) və (2, 5, 7). Hər iki sırada bir ortaq ədəd – nöqtə var. Bu ədəd 5-dir. (5, 3) və (4, 7) ədədləri 6-cı və 7-ci sıralarda yerləşir. (3, 5, 6) və (3, 4, 7) sıralarında isə ortaq olan nöqtə 3-dür.
Eyni qayda ilə digər ədədləri də götürüb, onlarda ortaq olan elementlərin sayının 1-ə bərabər olduğunu görə bilərik. Bu onu göstərir ki, ixtiyarı iki düz xətt yalnız və yalnız bir nöqtədə kəsişir.
Bu qayda ilə müəyyən etdiyimiz faktlardan - ədədlərlə həndəsi fiqurların qarşılaşdırılması faktından şagirdlərdə daha çox əyanilik yaratmaq və onlarda məntiqi təfəkkürü gücləndirmək məqsədilə istifadə etmək olar.