Məktəb həndəsə kursunun təkmilləşdirilməsi və ikilik prinsipi g I r I Ş

§3. Stereometriya kursunda ikilik prinsipinin tətbiqi imkanları

Fəzada əsas ikili anlayışlar olaraq nöqtə və müstəvi götürülür.

Fəzada nöqtə müstəvi ilə, müstəvi nöqtə ilə ikilidir. Düz xətt isə öz-özü ilə ikili anlayışdır.
Belə bir teoremə baxaq.
Teorem. Düz xətdən və onun üzərində olmayan nöqtədən yalnız və yalnız bir müstəvi keçirmək olar.
İkili teorem. Müstəvi onun üzərində olmayan düz xətlə yalnız və yalnız bir nöqtədə kəsişir.
Bu teoremləri isbat etmək üçün aşağıdakı cədvəldən istifadə edək.

Tutaq ki, A nöqtəsi p düz xətti üzərində deyil	Tutaq ki, p düz xətti a müstəvisi üzərində deyil
P düz xətti üzərində iki B və C nöqtələrini götürək	P düz xəttini özündə saxlayan iki a və b müstəvilərini götürək
Bir düz xətt üzərində yerləşməyən A, B, C nöqtələrini alırıq	Eyni bir düz xətti özündə saxlamayan a, b, q müstəvilərini alırıq
Üç nöqtədən bir müstəvi keçməsi aksiomuna görə, bu nöqtədən d müstəvisi keçirək. Bd, Cd olduğundan BCd	Üç müstəvinin bir nöqtədə kəsişməsi aksiomuna görə D nöqtəsini alırıq. Db, Dq olduğundan D(bq)
İki B və C nöqtələri BC düz xəttini müəyyən edir.	İki b və q müstəvisi bir p düz xəttini müəyyən edir.
Bp, Cp olduğundan BC p Onda p d	pb, pq olduğundan p (bq). Onda dp
Deməli, d müstəvisi A nöqtəsi və p düz xəttini özündə saxlayır.	Deməli, D nöqtəsi p düz xəttinə və a müstəvisinə aiddir.

Fəzada nöqtə və müstəvi ikili anlayışlar olduğundan, fəza fiqurlarının üzləri (müstəvilər) təpələrlə (nöqtələrlə), təpələri (nöqtələr) isə üzlərlə (müstəvilərlə) ikili olur. Bu münasibətlərdən istifadə edərək, fəza fiqurları üçün onlarla ikili olan fiqurların tapılması üsuluna baxaq.

Kubun 6 üzü, 12 tili və 8 təpəsi vardır. İkilik prinsipinə görə, onda 6 təpəsi, 12 tili və 8 üzü olan fəza fiquru olmalıdır. Bu fiqur isə oktaedrdir.
6 üzlüdə hər təpədən 3 til çıxır, yəni hər təpə nöqtəsi 3 tilə aiddir. Deməli, onunla ikili olan fiqur hər bir üzü (müstəvisi) 3 til (düz xətt) əmələ gətirir. Başqa sözlə, oktaedrin üzləri üçbucaqlardır.
6 üzlüdə və ya kubda isə üzləri 4 bucaqlı və ya kvadratlardır. Çünki hər bir üzü 4 til əmələ gətirir.
12 üzlü fəza fiquru olan dodekaedrin üzləri 5 bucaqlılardır. Onun 30 tili və 20 təpəsi var. İkilik prinsipinə görə, onda 12 təpəsi, 30 tili və 20 üzü olan fəza fiquru mövcuddur. Bu fiqur isə ikosaedrdir. Dodekaedrdə hər təpə nöqtəsindən 3 til çıxır, deməli, ikosaedrdə hər üzü 3 til əmələ gətirir. Yəni, ikosaedrin üzləri üçbu-caqlardır. Dodekaedrdə hər üzü 5 til əmələ gətirdiyi üçün, ikilik prinsipinə əsasən, ikosaedrdə hər təpədən 5 til çıxır.
Fəzada baxdığımız bu ikilik prinsipi “böyük ikilik prinsipi” adlanır.
Fəzada “böyük ikilik prinsipi”nə görə, nöqtə müstəvi ilə, müstəvi nöqtə ilə, düz xətt isə düz xətt ilə ikili anlayışlardır.
Proyektiv həndəsədə “kiçik ikilik prinsipi”nə görəmüstəvidə nöqtə düz xətt ilə, düz xətt nöqtə ilə ikili anlayışdır.
Bunları aşağıdakı cədvəldə vermək münasib olardı. Cədvələ əsasən, fəza cisimlərinin ikili fiqurlarının tapılması üsulu çox sadədir. Bunun üçün üzlərlə təpələrin saylarını bir-birilə əvəz edirik, tillərin sayını isə olduğu kimi saxlayırıq.

	üz	til	təpə
tetraedr	4	6	4
tetraedrə ikili fiqur (tetraedr)	4	6	4
kub	6	12	8
kuba ikili fiqur (oktaedr)	8	12	6
dodekaedr	12	30	20
dodekaedrə ikili fiqur (ikosaedr)	20	30	12
ikosaedr	20	30	12
ikosaedrə ikili fiqur (dodekaedr)	12	30	20

Planimetriya kursunda 3 nöqtə vasitəsilə müstəvi qurduq və həmin müstəvi üzərində iki kəsişən düz xəttin yalnız bir ortaq nöqtəsi olduğunu göstərdik. Daha çox – 3 deyil, 4 nöqtədən ibarət “fəza” quraq. Bu “fəza”nın hər bir “müstəvisi” üzərində 4 nöqtə yerləşən düz xətlərdən ibarətdir.

1 2 3 4

1. 
   5 6 7
   

1. 
   8 9 10
   

1. 
   11 12 13
   
2. 
   5 8 11
   

2 6 9 12

2. 
   7 10 13
   
3. 
   5 9 13
   

3 6 10 11
3 7 8 12

4. 
   5 10 12
   

4 6 8 13
4 7 9 11
Bu “müstəvi”də ixtiyarı iki nöqtədən yalnız bir düz xətt keçir, ixtiyarı iki düz xətt bir nöqtədə kəsişir. Məsələn, son iki sətri müqayisə etsək, onların ortaq elementi 4 nöqtəsidir.Bu, onu göstərir ki, iki düz xəttin bir ortaq nöqtəsi var. 5 və8 nöqtələrini götürsək, həmin nöqtələrdən keçən düz xətt 5-ci sətirdə yerləşən (2, 5, 8, 11) sırasıdır. Bu isə onu göstərir ki, iki nöqtədən yalnız bir düz xətt keçir. Bu qayda ilə “fəzanı” ədədlər vasitəsilə yuxarıdakı kimi qura bilərik. Analoji üsulla 5, 6 və s. nöqtələr vasitəsilə “fəzanı” təsvir edə bilərik.
8 ədədini götürüb 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ədədləri ilə birləşdirsək, (8, 1), (8, 2), (8, 3) və s. alarıq. Bu düz xətlərin hər biri üzərində yeni nöqtə yerləşir: (8, 1)–də 9, (8, 2)-də 10 və s. daha sonra bu yeni nöqtələrin özlərini də bir-birilə birləşdirib, aldığımız sıraya əvvəlki - 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 nöqtələrindən birini əlavə etsək, alarıq:
I sütunda bizə məlum olan əvvəlki müstəvini təsvir edən ədədlər yerləşir. Bu sıradan sağdakı sırada 8 ədədini əlavə etməklə alınan yeni “müstəvi” yerləşir. Üçüncü sırada yeni nöqtələrin öz aralarında birləşməsi ilə yaranan “müstəvi” yerləşir. Beləliklə, 9, 10, 11 və s. ədədlərini əlavə etməklə biz bütün düz xətlərin və müstəvilərin yerləşdiyi fəzanı qurmuş oluruq. Asanlıqla yoxlamaq olar ki, bu fəzanın ixtiyarı iki nöqtəsindən yalnız bir düz xətt keçir. Məsələn, 13 və 3 nöqtələrini götürək. Bu nöqtələr yalnız bir sırada (13, 3, 14) sırasında yerləşir. 9 və 5 ədədlərinin təsvir etdiyi nöqtələr (9, 5, 12) sırasıdır və s.
1, 2, 3 8, 1, 9 9, 2, 11 10, 1,11 11, 4, 15
1, 4, 5 8, 2, 10 9, 3, 10 10, 4, 14 11, 5, 14
1, 6, 7 8, 3, 11 9, 4, 13 10, 5, 15 11, 6, 13
2, 4, 6 8, 4, 12 9, 5, 12 10, 6, 12 11, 7, 12
2, 5, 7 8, 5, 13 9, 6, 15 10, 7, 13
3, 5, 6 8, 6, 14 9, 7, 14
3, 4, 7 8, 7, 15

12, 1, 13 13, 2, 15

12, 2, 14 13, 3, 14
12, 3, 15 14, 1, 15
Beləliklə, bu fəzada ixtiyarı iki nöqtədən bir düz xətt keçir. Lakin bütün düz xətlər kəsişmir. Məsələn, (10, 6, 12) və (9, 7, 14) ədədləri ilə təsvir edilən düz xətlər kəsişmir.

........
Buradan elə müstəvilər tapaq ki, yuxarıdakı şərtlər ödənsin.

9, 3, 10 4, 9, 13
4, 10, 14 7, 14, 9
4, 3, 7 7, 13, 10
3, 13, 14
Dörd ədədlə (nöqtə ilə) belə müstəvilər qurmaq olar:
1, 2, 3, 4 3, 5, 9, 13
1, 5, 6, 7 3, 6, 10, 11
1, 8, 9, 10
1, 11, 12, 13 3, 7, 8, 12
2, 5, 8, 11 4, 5, 10, 12
2, 6, 9, 12 4, 6, 8, 13
2, 7, 10, 13 4, 7, 9, 11

Beləliklə, Volberq göstərimişdir ki, aksiomlar sisteminə aşağıdakı aksiomları da əlavə etmək olar:

Hər bir düz xəttin üzərində yerləşən dörd nöqtə var. Bu aksioma Volberq varlıq aksiomu adını vermişdir.
Hər bir düz xəttə aid olmayan ən azı bir nöqtə var.
Hər bir müstəviyə aid olmayan ən azı bir nöqtə var.
Həndəsənin tədrisi prosesində bu cədvəllərdən istifadə edərək aşağıdakı kimi sualları vermək olar:

1. 
   Hər sütundakı ədədlərə baxıb qanunauyğunluqları tapın.
   
2. 
   Hər bir sütunda ixtiyarı iki sətrin yalnız bir ortaq elementinin olması nəyi bildirir?
   
3. 
   Ədədlər nöqtələri əvəz edirsə, dörd nöqtənin yerləşdiyi iki müxtəlif müstəvinin bir ortaq nöqtəsi ola bilərmi? (ola bilməz)
   
4. 
   Bəs üç, dörd müstəvinin necə, bir ortaq nöqtəsi ola bilərmi? (ola bilər)