Navoiy davlat konchilik va texnologiyalar universiteti fakulteti

NAVOIY DAVLAT KONCHILIK VA TEXNOLOGIYALAR UNIVERSITETI
__________________________________________ FAKULTETI

____________________________________________
fanidan

MUSTAQIL ISH


Guruh: _________________________
Bajardi: _________________________
Qabul qildi: ______________________


Navoiy-2023


MAVZU: Differensial tenglamalarni qatorlar yordamida yechish.
Reja:

1. 
   Qatorlar haqida umumiy ma’lumot .
   

2. 
   Qatorlarni differensial tenglamalrga tadbiq qilish.
   
3. 
   Taqribiy yechish .
   

Umumiy holatda birinchi tartibli oddiy differensial tenglamani integrallash orqali aniq yechimini topish mumkin emas. Bundan tashqari, bu oddiy differensial tenglamalar tizimi uchun amaliy emas. Bu holat oddiy differensial tenglamalar va ularning sistemalarini yechishning ko'p sonli taxminiy usullarini yaratishga olib keldi. Taxminiy usullar orasida uchta guruhni ajratish mumkin: analitik, grafik va raqamli. Albatta, bunday tasnif ma'lum darajada o'zboshimchalikdir. Masalan, differensial tenglamani sonli yechish usullaridan biri negizida Eyler siniq chiziqlarining grafik usuli yotadi.

Oddiy differensial tenglamalarni quvvat qatorlari yordamida integratsiyalash, qoida tariqasida, kamida ikkinchi tartibli chiziqli tenglamalarga qo'llaniladigan taxminiy analitik usuldir.
Differensial tenglamalar kursida analitik usullar mavjud. Birinchi tartibli tenglamalar uchun (ajraladigan o'zgaruvchilar, bir hil, chiziqli va boshqalar), shuningdek, yuqori tartibli tenglamalarning ba'zi turlari uchun (masalan, doimiy koeffitsientli chiziqli) ko'rinishdagi echimlarni olish mumkin. formulalarni analitik o'zgartirishlar orqali.
Ishning maqsadi oddiy differensial tenglamalarni qatorlar yordamida integrallash va ularni differentsial tenglamalarni yechishda qo‘llash kabi taxminiy analitik usullardan birini tahlil qilishdan iborat.
Agar y, y ',…, y (n) qiymatlari yig'indisiga nisbatan birinchi darajali bo'lsa, n-darajali differentsial tenglama chiziqli deb ataladi. Shunday qilib, n-darajali chiziqli differensial tenglama quyidagi ko'rinishga ega:
Bu erda x ning ma'lum uzluksiz funktsiyalari.
Bu tenglama bir jinsli bo'lmagan chiziqli tenglama yoki o'ng tomoni bo'lgan tenglama deyiladi. Agar tenglamaning o'ng tomoni bir xil nolga teng bo'lsa, chiziqli tenglama bir jinsli chiziqli differensial tenglama deb ataladi va quyidagi ko'rinishga ega bo'ladi.

1. 
   Qatorlarni differensial tenglamalarga tadbiq qilish.
   

Funksiyalarni darajali qatorlarga yoyish yordamida xar xil differensial tenglamalarni taqriban integrallash mumkin . Murakkab nazariy tasavvurlarga berilmasdan , xususiy yechimni topishning ikkita usulini qaraymiz .
Birinchi usul. Differensial tenglama va xususiy yechimini aniqlovchi boshlangich shartlar berilgan bo’lsin . Tenglamaning yechimini boshlangich shartlar berilgan x0 nuqta atrofida (x-x0)ning darajalari bo’yicha joylashgan qatorga yoyish mumkin :

Hozircha nomalum koeffitsentli bu qatorni tenglamaning tartibi qanday bo’lsa shuncha marta differensiallaymiz .
Shundan keyin tenglamada nomalum funksiya va uning xosilalari o’rniga tegishli qatorlarni qo’yib , ayniyatga ega bo’lamiz , undan qatorning nomalum koeffitsentlari aniqlaymiz . Bunda qatorning dastlabki koeffitsentlari (ularning soni tenglama tartibiga teng) boshlangich shartlardan aniqlanadi . Ayniqsa chiziqli tenglamalarni bunday usul bilan yechish qulay.
Ikkinchi usul. Agar tenglama chiziqli bo’lmasa , u holda u o’rniga uning qatori yoyilmasi :

ni qo’shib nomalum koeffitsentlarni aniqlash uchun murakkab tenglamalarga olib keladi . Bunday xollarda quyidagicha ish ko’rish foydali. Tenglamada u ni x ning funksiyasi deb qarab uni bir necha martta differensialanadi . Tenglamaning o’zida va uning hosilasida x=x0 (x0 uchun boshlangich shartlar berilgan) deb olib va boshlangich shartlarni inobatga olgan xolda qator koeffitsentlari ketma ket topiladi.

2. 
   Differensial tenglamalarni taqribiy yechish .
   

Birinchi usul bo’yicha :
1-misol. Ikkinchi tartibli chiziqli differensial tenglamani shartlarda yeching .
Yechish : x0=0 bo’lgani uchun yechimni x ning darajalari bo’yicha tuzilgan qator ko’rinishida izlaymiz :

Bu qatorni ikki martta differensiallaymiz:

Boshlangich shartlardan foydalanib x=0 qiymatni boshida berilogan ikkita qatorga qo’yib dastlabki koeffitsentlarini topamiz: a0=1, a1=0.
Shundan keyin berilgan tenglamadagi y va lar o’rniga ularning qator yoyilmalarini qoyib

Ayniyatga ega bo’lamiz xning bir hil darajalari oldidagi koeffitsentlarni tenglab topamiz:

Bundan a0=1 , a1=0 ekanini hisobga olib, quyidagilarni ko’rish oson :

Boshqacha aytganda . qatorda

Bu qatorning qolgan koeffitsentlari esa nolga aylanadi.
Shunday qilib biz tenglamaning qator ko’rinishdagi yechimiga ega bo’lamiz:

Bu qator x ning har qanday qiymatida yaqinlashuvchi ekanini Dalamber akomati yordamida ko’rsatish mumkin . Shuni qayd qilamizki tenglamaning tartibi yordamida yechish usuliga hech bir ta’sir etmaydi .
Ikkinchi usul bo’yicha :
Misol. = + tenglama yechimining darajali qatorga yoyilmasining bir necha xadini boshlangich shartlarda toping.
Yechish . Yechimi:

Qator ko’rinishida izlaymiz. Malumki bu qatorning koeffitsentlari Teylor koeffitsentlaridir , ular y funksiyaning x=1 nuqtadagi hosilalari orqali quyidagi formulalar bilan ifodalanadi:

Bunda ushbu belgilashlar jiritilgan :
berilgan tenglamani bir necha marta differensiallaymiz va hosilalarining x=1 nuqtadagi qiymatlarinihisoblaymiz. Shunday qilib:

Xosilalarning topilgan qiymatlarini qator koeffitsentlarining formulalariga qoyamiz. Quyidagi qiymatlar hosil boladi :

Shunday qilib tenglamaning :

Qator ko’rinishidagi yechimiga ega bo’lamiz . yechishning bu usulini xar qanday tartibli tenglamaga qo’llay olamiz.