Nazariy fizika kursi

5.6. V bobga oid savol va masalalar
Ushbu tenglamaningyechimi
X(r) = Asin(kr+a),
ko ‘rinishda bo lib, bu yerda A va a-integrallash doimiysi. >■
 ^  о da R(r)
funksiyaning chekliligidan, 
a = o ga kelinadi. Chegaraviy shart 
Д
sin
R(fj,) = 0 
=
-----
1 dan krri=nn(bunda 
n -
1,2,3,...,) 
kelib chiqadi.
Г0
Demak,
170

---

2 mnr;
bo 'ladi. s holat uchun zarrachaning to ‘lqin funksiyasi
1 
7tH
y„,o.o = i ? (r)7 0 o(0,
r 
rn
ga teng.
Normallashtirish shartidan
r0 1
C ^A ni— 
I r~
r 
\
. 2 КП
sm — r
r'dr = 1
С 
doimiy topiladi: 
U holda
v 
0 
/
С = { 2 к ф .
1 
1 . ЯП

---

VI bob
KVANT M EXANIKASINING MATRITSA SHAKLI 
6.1. 
Matritsalar algebrasining asoslari
Avvalgi boblarda keltirib chiqarilgan kvant mexanikasining 
hisoblash metodi, ya’ni chiziqli va ermit operatorlarning metodi, kvant 
mexanikasida qollaniladigan yagona hisoblash metodi emas. 1925- 
yilda M.Bom,V.Geyzenberg va P.Iordanlar kvant mexanikasida mavjud 
boigan qarama-qarshiliklami bartaraf etishga erishdilar va kvant 
nazariyasining yopiq sxemasini yaratishga muvaffaq boldilar. Ushbu 
nazariyaning 
asosiy 
tenglamalari 
3.5-paragrafda 
ko‘rilgan 
tenglamalarga o‘xshash boiib, ular oddiy son kattaliklar yoki 
operatorlar yordamida ifodalanmasdan, balki matritsalar ko‘rinishida 
berilgan. Shuning uchun Bom-Geyzenberg-Iordan nazariyasi matritsa 
shaklidagi kvant mexanikasi deb ataladi.
Bir necha vaqt o‘tgach E.Shredinger mutlaqo boshqa tasavvurlardan 
kelib chiqqan holda toiqin shaklidagi kvant mexanikasini asoslab berdi 
va uning nazariyasini asosiy obyektlari boiib V|/-to1qin funksiyasi va 
dinamik o‘zgaruvchilarga mos kelgan operatorlar tanlab olindi. 
Keyinchalik, 1926-yilda E.Shredinger o‘zi bu ikki nazariyani bir-biriga 
tola ekvivalent ekanligini ko‘rsatdi va matritsa shakldagi kvant 
mexanikasidan 
toiqin 
shaklidagi 
kvant 
mexanikasiga 
o‘tish 
mumkinligini ko‘rsatib berdi, shuning bilan bir qatorda teskari o‘tishni 
ham ifodalab berdi. Matritsa ko‘rinishdagi kvant mexanikasini 
ifodalashdan avval, matritsalaming qisqacha matematik nazariyasi 
ko‘rib chiqiladi.
Quyidagi jadvalni tashkil etuvchi kattaliklar to‘plamini A matritsa 
deyiladi:
Umimiy holda jadvalda keltirilgan qatorlar va ustunlar sonlari bir- 
biriga teng bolmasligi ham mumkin. Jadvalda keltirilgan har bir 
kattalik matrik element deyiladi va ikkita indeks bilan belgilanadi.
172

---

Birinchi indeks qatoming tartib raqamini bildirsa, ikkinchisi esa 
ustunning tartib raqamini ifodalaydi. Umuman olganda, matritsalar 
haqida 
tushuncha 
rc-oichovli 
fazodagi 
vektorlaming 
chiziqli 
almashtirishi natijasida kiritiladi. Kvant mexanikasida uch xil tipdagi 
matritsalar bilan ish yuritiladi:
I) nxn tartibli kvadrat matritsalar:
f Ax 4, "• A ,'
A,.
A =
a
2, A22
(
6
.
2
)
A„{ An2 ■
■
■
A,
2) bitta ustunga ega boigan их 1 tartibli matritsa-ustunlar:
V
'v O
V2
v 
j
(6.3)
3) bitta qatorga ega boigan lxw tartibli matritsa-qatorlar
Ф = (Ф]) = {¥1,¥г>-’У'п) 
(6-4)
bilan ish yuritiladi.
Birinchi tipdagi matritsalar Evklid fazosidagi chiziqli operatorlami 
ifodalaydi, ikkinchichilari esa shu fazodagi vektorlami va nihoyat 
uchinchi tipdagi matritsalar kompleks qo‘shma fazodagi vektorlami 
belgilaydi.
Endi bevosita matritsalar bilan bajariladigan algebraik operatsiyalar 
ustida to‘xtab o‘taylik.
Ikkita matritsa teng matritsalar deyiladi, agarda ulaming tartiblari 
bir biriga teng boisa va ulaming tegishli matrik elementlari ham o‘zaro 
teng boisa. Masalan, 
2
x
2
tartibli ikkita A va В  matritsalar uchun A= В 
tenglik
an — bj j ? 0^2 ^]2 ) 
^21 > ^22 ^22
tengliklami anglatadi.
Ikkita teng tartibli A va В matritsalarning yig’indisi deb, shu 
tartibdagi shunday С = A+B matritsaga aytiladiki, bunda
C\
'A j k + B jk
(6.5)
boiadi.
173

---

Matritsalaming ko‘paytmasi murakkab operatsiya hisoblanadi. 
Masalan, m xn tartibli A matritsani n x l tartibli В  matritsaga 
ko‘paytmasi deganda shunday 
mxl 
tartibli 
C = AB matritsa 
tushuniladiki, bu hosil boigan С matritsaning i, j  indeksli elementi A 
matritsaning 
i-qatorining barcha elementlarini В  matritsaning j- 
ustunining barcha 
elementlariga ketma-ket ko‘paytmalarining 
yig’indisiga teng bo‘ladi, ya’ni
С у — У, AjlcBk,