Nazariy fizika kursi

(
6
.
6
)
ri
=
1,2
, y = l ,2 ......../ y
Demak, matritsalaming ko‘paytmasi faqat A matritsaning ustunlar 
soni В  matritsaning qatorlar soniga teng bo‘lgandagina mavjud bo‘ladi.
Yuqorida keltirilgan umumiy ta’rifni ikkita n x n tartibli kvadratik 
matritsalaming ko‘paytmasiga qo‘llab ko‘raylik. U holda
v
(B u
B a )
A22 ^ 1*2. В 22
 ^
V
An B n + A[2B2l An Bn + AL2B22 
a
21
b u
+
a
12
b
2
i
 
a
2I
b
i2 + 
a
22
b
22
ifodaga ega bo‘linadi. Endi xuddi shu matritsalaming ko‘paytirish 
tartibini o‘zgartiraylik va bu holda,
^ B n 
5 12Y i4 n 
Ai2 ^ ( B UA;I + B
u
A2I 
В ИЛ 12 + B I2A 22 ^
B 2\
 
B
-,2
I A
2
 
Ar
^21^1] B22A2
i
B n An + B 2i A 
22
natija olinadi. Demak, ushbu yuqorida keltirilgan matritsalaming 
ko‘paytirish natijalari bir biriga teng emas, ya’ni ular bir biriga 
kommutativ emas,
AB^BA. 
(6.7)
Kvadratik matritsalar ichida, ko‘p hollarda, dioganal matritsalar 
qiziqtiradi, ya’ni bu matritsalarda faqat bir xil indeksli elementlar 
noldan farqli bo‘ladi, qolgan barcha elementlar nolga teng boiadi, 
ya’ni
( 4 * =
Au
0
0
.
0
0 
A22 0 ... 0
(
6
.
8
)
174

---

Dioganal matritsalar ichida / birlik matritsa kvant mexanikasida 
alohida o‘rin tutadi, ya’ni bu matritsada barcha dioganal boimagan 
elementlar 
nolga teng boiib, dioganal elementlar esa birga teng 
boiadi:
0 0 ... 1
V 
)
birlik matritsa Kroneker belgisi bilan mos keladi.
Agarda A matritsadagi ustunlar va qatorlar o‘rinlar almashtirilsa, u 
holda A - transponirlangan matritsani hosil qilgan boiamiz, ya’ni
bu yerdan ravshanki, agar A matritsa mxn tartibga ega boisa , u holda 
A matritsa nxm tartibli boiadi.
Agarda A=A boisa , u holda A matritsa simmetrik matritsa deyiladi. 
A matritsadagi barcha elementlaming kompleks qo‘shmasi olinsa, u 
holda A matritsaga nisbatan A* kompleks qo‘shma matritsani hosil 
qilgan boiamiz:
Agar A*=A boisa , u holda A matritsa haqiqiy matritsa deyiladi , 
chunki uning barcha elementlari haqiqiydir.
A+ matritsani A matritsadan hosil qilish uchun , avvalo A matritsani 
transponirlash kerak, keyinchalik kompleks-qo‘shmasini olish kerak, 
ya’ni A matritsaga nisabatan Ermit qo‘shma matritsani hosil qidik:
Agarda A matritsa mxn tartibga ega boisa, u holda 
A + 
matritsaning tartibi nxm boiadi. Xususiy holda
/ = (/),* =5*
1 0 ... 0 
0 1 ... 0
(6.9)
{A)jk = (A)lr
(6.10)
(
6
.
11
)
=[M) ,*]* = (<■
(
6
.
12
)
(6.13)
V
V, j
matritsa-ustunga
¥ + =(V'iV:\,-Уп)
(6.14)
175

---

ermit qo‘shma matritsa-qator mos keladi va nihoyat , agarda A +=A 
bo‘lsa , u holda A matritsa Ermit, yoki, o‘z-o‘ziga qo‘shma matritsa 
deyiladi. Kvant mexanikasida bunday matritsalar ko‘p uchraydi.
6.2 Matritsa shakldagi Shredinger tenglamasining ko‘rinishi.
Kvant mexanikasidagi bir qator konkret fizik masalalar yechilganda 
matritsa ko‘rinishdagi Shredinger tenglamasidan foydalanish ancha 
qulayliklarga olib keladi. Ushbu ko‘rinishdagi tenglamani yozish uchun 
i|/(x,t) to‘Iqin funksiyasini W„(x) funksiyalar bo‘yicha qatorga yoyish 
kerak:
= 
(6.15)
Agar (6.15) yoyilmani (3.3) tenglamaga qo‘yilsa natijada quyidagi 
ifodani hosil qilgan bo‘lamiz, ya’ni
ih ч: X е» WV'- W = 
(*) 
(6.16)
n 
n
Bu formuladagi Й gamiltonian vaqtga oshkor ravishda bog’liq emasligi 
eslansa, (6.16) ifodani quyidagi ko‘rinishda yozish mumkin:
‘h'ZV,: M  
= 
X
Cn (0Й(Х)УП 
(X)
(6.17)
Hosil bo'lgan tenglamaning ikkala tamonini wl,(x) ga ko‘paytirib, x 
ning butun o‘zgarish sohasi bo‘yicha integrallansa va ifodaning chap 
tomonida 
funksiyalaming ortonormallashganligi xususiyatidan 
foydalanilsa, u holda m raqamli hadidan tashqari barcha hadlar nolga 
teng bo‘ladi, ya’ni
= Е Я ™С»(/) 
(6.18)
tenglamaga ega bo‘lamiz, bu yerdagi H -gamiltonian matritsasining 
H mn elementi quyidagiga teng:
Hm
n = f (xW„(x)dx-
(6.
1
9)
Shunday qilib, (6.18) tenglama matritsa ko‘rinishdagi Shredinger 
tenglamasi bo‘lib, boshlang’ich momentda berilgan cn(0) lar bo‘yicha 
vaqtning keyingi momentlaridagi cn(t) lami aniqlab beradi.
176

---

Agarda