Nizomiy nomidagi toshkent davlat pedagogika universiteti

4. V.Geyzenbergning noaniqliklar munosabati qonuni.

Elektronning to`lqin xossasini ochilishi unga oddiy zarracha sifatida emas, balki to`lqin xossasiga ega bo`lgan murakkab bir borliq sifatida qarash kerakligini ko`rsatadi. Uni o`lchami, aniq trayektroiyasi haqida gapirib bo`lmaydi. Elektron yorug`lik fotonidan farqli elektr zaryadiga ega bo`lib, uni fazodagi vaziyati va taqsimlanishi boshqa zarrachalar bilan, masalan, atomda yadro bilan o`zaro ta`sirlashishiga bog`liq bo`ladi.

Ma`lumki, klassik mexanikada m massali moddiy nuqta x o`qi bo`ylab V tezlik bilan harakatlanayotgan bo`lsa, u aniq x koordinata va Р_х = mV_x impulsga ega bo`ladi. Ma`lum vaqtdan keyin uni koordinatasi x', impulsi Р_х bo`ladi. Shu bilan birga nuqta aniq harakat traektoriyasiga ham ega bo`ladi. Agar moddiy nuqtaga ta`sir qilayotgan Fx kuch ma`lum bo`lsa, uni ma`lum vaqtdan keyingi koordinata va impulsni aniq hisoblash va aytish mumkin.

Moddiy nuqtaning tezligi va tezlanishi

v_х=

formulalar bilan aniqlanar edi. Nyutonning II qonuni

(4.1)

formula bilan ifodalanadi.

(4.1) formulani yana ikki ko`rinishda yozish mumkin:

va = (4.2)

Bu formulalar klassik mexanikadagi sababiyat prinsipini matematik ifodasi bo`lib, agar moddiy nuqtaga ta`sir etayotgan kuch ma`lum bo`lsa, ular yordamida moddiy nuqtaning dt vaqtdan keyingi koordinata va impulsi o`zgarishi dx va dp larni topish mumkin.

Demak, harakatdagi moddiy nuqta bir vaqtning o`zida aniq koordinata, impuls va traektoriyaga ega bo`la oladi. Uning keyingi vaziyati harakat tenglamasi yordamida topiladi.

Mikrozarra to`lqin tabiatiga ega bo`lgani uchun u klassik mexanikadagi moddadan farq qiladi. Asosiy farq shundaki, mikrozarrachani trayektoriyasi bo`lolmaydi. Bundan tashqari bir vaqtning o`zida uning ham aniq koordinatasi va ham aniq impulsiga ega bo`la olishi mumkin emas. Buning sababi mikrozarrachaning dualistik tabiatga ega bo`lishidir. Masalan, mikrozarrachani impulsini to`lqin uzunligi orqali ifodalashimiz mumkin. Ammo mikrozarracha to`lqin xossaga ega bo`lgani uchun u fazoda ancha katta bo`shliqni egallaydi va koordinatasining noaniqligi katta bo`ladi. Demak, zarrachani impuls tezligi aniq bo`lsa, uni koordinatasi noaniq qoladi. Aksincha mikrozarrani koordinatasini aniq hisoblasak, uning impulsining tezligini noaniqligi - p ortadi. Ya`ni х=0 bo`lganda rр= bo`ladi.

1927 yilda nemis olimi Verner Geyzenberg (1901-1976) mikrozarralarning to`lqin xossasini hisobga olib, ularning impuls va koordinatalarini bir xil yuqori aniqlik bilan hisoblab bo`lmaydi degan xulosaga keldi va bir vaqt mobaynida o`zining noaniqliklar munosabati qonunini yaratdi.

Mikrozarrachaning impulsi va koordinatasini aniq o`lchab bo`lmasligi o`lchov asboblarining o`lchash aniqlik darajasiga bog`liq bo`lmasdan mikrozarrachaning to`lqin tabiatidan kelib chiqadi.

Agar mikrozarrachaning fazodagi koordinatalarini x, y, z va impulsining o`qlardagi proektsiyalarini Px, Py, Pz desak, Geyzenberg noaniqlik munosabatlariga ko`ra koordinata noaniqligini, impuls noaniqligiga ko`paytmasi Plank doimiysidan kichik bo`la olmaydi. Ya`ni ,

(4.3)

Demak, koordinata noaniqligining impuls noaniqigiga ko`paytmasi doimo h dan katta bo`ladi. Impuls va koordinatalar juda katta aniqlikda o`lchanganda ularning ko`paytmasi h ga teng bo`lishi mumkin. (4.3) munosabatlardan ko`rinadiki, koordinatalarni juda katta aniqlikda o`lchab, uni noaniqligi x ni juda kichik bo`lishiga (х→0) erishish mumkin. Ammo, bu vaqtda mikrozarra impulsining noaniqligi p ortib ketadi (p→). Doimo x ni p ga ko`paytmasi Plank doimiysi h dan katta bo`ladi. Bundan zarrachaning impuls va koordinatasini bir xil aniqlikda o`lchab bo`lmasligi kelib chiqadi.

Noaniqlik munosabatlari haqiqatdan ham mikrozarrachalarning to`lqin xossasidan kelib chiqishini ko`raylik. Elektronlar chiqayotgan tirqishning kengligi x bo`lsin. Agar x de-Broyl to`lqin uzunligiga yaqin bo`lsa, ekranda elektronlar difraksiyasi kuzatiladi (6-rasm). 6-rasmda Y o`qiga simmetrik joylashgan bosh va ikkilamchi maksimumlar ko`rsatilgan. Elektron tirqishdan chiqqandan keyin difraksiya tufayli burchakka buriladi. Natijada impulsning x o`qi yo`nalishida p<sub>x</sub> noaniqligi vujudga keladi. Tirqishdan o`tishdan oldin elektronlar Y o`qi yo`nalishida harakatlangani uchun impulsning x o`qi yo`nalishidagi tashkil etuvchisi p_х ham, noaniqligi p_x ham nolga teng bo`lib, koordinatasi butunlay noaniq bo`ladi. Elektronlar tirqishdan chiqayotgan paytda ularning x koordinatasi tirqishning kengligiga teng bo`lib, x aniqligida bo`ladi. Elektronlarning tirqishdan chiqqandan keyingi difraksiyasi tufayli  burchak oralig`ida harakatlanadilar. (Bu yerda -difraksiya maksimumiga mos kelgan burchak). Natijada elektronlar impulsini x o`qi yo`nalishidagi p<sub>х</sub> noaniqligi xosil bo`ladi.

(4.3) formulaga asosan 6-rasmdan p_x ni topamiz:

p_х = р sin = sin (4.4)

Difraksiya nazariyasiga ko`ra birinchi minimum

х sin= (4.5)

shartni qanoatlantiruvchi burchakka mos keladi. (4.4) va (4.5) formulalardan

х^. p_х =h

ekanligini topamiz. Agar bosh maksimumni tashqarisiga ham tushayotgan elektronlarni ham hisobga olsak, p_х  rsin  bo`lib,

х^. p_х  h ekanligi kelib chiqadi.

Noaniqlik munosabatini х· v_x  (4.6)

ko`rinishda ham yozish mumkin. (4.6) formuladan ko`rinadiki, zarrachaning massasi m qancha katta bo`lsa, tezlik va koordinataning noaniqligi shuncha kamayadi. Geyzenberg munosabatlarini makro- va mikrodunyo zarrachalarga qo`llash qanday natija berishini ko`raylik.

Misol sifatida massasi m=1mg=10^-6kg chiziqli o`lchami l=1mkm=10<sup>-6</sup>m bo`lgan chang zarrachasini olaylik. Uning koordinatasini noaniqligini x=0,01mkm=10^-8m bo`lsin deylik. Mexanikadagi p=mv impuls formulasini qo`llab, (4.6) formuladan tezlikning noaniqligi v_x ni topamiz:

v_x

Tezlikning bunday juda kichik noaniqligini chang zarrachasining har qanday tezligida ham hisobga olmasa bo`ladi. Demak, makroskopik jismlarning to`lqin xossasini hisobga olish kerak emas, ularning koordinata va impulsini katta aniqlikda o`lchash mumkin.

Noaniqliklar munosabatini vodorod atomidagi elektron uchun tadbiq etaylik, koordinatani noaniqligi atomning o`lchamiga yaqin bo`lsin. Masalan, х=10^-10_m bo`lsa, u holda quyidagi natija kelib chiqadi.

Klassik mexanika qonunlarini qo`llab, elektronning yadro atrofidagi haqiqiy tezlgi uchun  =2,3·10<sup>6</sup> m/s ekanini topamiz. Ko`rinib turibdiki, tezlikning noaniqligi uni o`zini qiymatidan ham katta bo`lib qolmoqda, demak, atomdagi elektron uchun aniq koordinata va traektoriya to`g`risida fikr yuritib bo`lmaydi.

Kvant nazariyasida energiya va vaqt uchun ham noaniqliklar munosabati o`rinli ekanligi hisobga olinadi. Ularning qiymatlaridagi noaniqlik quyidagi shartni qanoatlantirishi kerak.

Е^.t (4.7)

Bu ifodadan yashash vaqti t bo`lgan zarrachaning energiyasi aniq bir E qiymatga ega bo`lmasligi kelib chiqadi. Vaqt o`tishi mobaynida uning energiyasi o`zgarib kamayib boradi Е=h/tv. Yuqoridagi ifodadan nurlangan foton chastotasini noaniqligi  = Е/h ham kelib chiqadi, ya`ni spektral chiziq

h  Е/ h

ko`rinishda ifodalanishi kerak. Haqiqatdan ham tajriba, spektral chiziq yoyilganroq bo`lishini ko`rsatadi, uni kengligini o`lchab, atomning qo`zg`algan(g`alayonlangan) holatda qancha vaqt bo`lishini hisoblash mumkin.
5. Kvant nazariyasida holatlar prinsipi. Shredinger tenglamasi.

De-Broyl gipotezasini tajribada tasdiqlanishi, mikrozarrachalarning impuls va koordinatalarini aniqlashda noaniqlik munosabatlarini bajarilishi va boshqa qator tajribalar kvant mexanikasini yaratilishiga olib keldi.

Kvant mexanikasini yaratilish davri 1900 yilda M.Plank tomonidan yorug`lik kvanti haqidagi gipotezani yaratilish davridan boshlab, 1920 yillarni oxirigacha bo`lgan vaqtni o`z ichiga oladi. Kvant mexanikasini yaratishga avstriyalik fizik Ervin Shredinger (1887-1961), nemis fizigi Verner Geyzenberg va angliyalik fizik Plank Diraklar katta hissa qo`shgan. De-Broyl to`lqinining fizik ma`nosini tushunib olishga yorug`likning to`lqin va korpuskulyar xossalari orasidagi bog`lanishni ko`rib chIqish yordam beradi. Malumki, yorug`likning to`lqin nazariyasiga binoan difraksiya manzarasining intensivligi yorug`lik to`lqini amplitudasi kvadratiga proporsional. Yorug`likning kvant nazariyasiga binoan difraksiya manzarasining intensivligi, o`sha joyga tushayotgan kvantlar soni bilan aniqlanadi.

Mikrozarrachalardan kuzatiladigan difraksiya maksimum manzarasi ham ma`lum yo`nalishlar bo`yicha zarrachalar oqimini bir xilda taqsimlanganligiga bog`liq. Ma`lum yo`nalishga ko`p sondagi zarrachalar to`g`ri kelsa, boshqa yo`nalishga kam sonli zarrachalar to`g`ri keladi. To`lqin nazariyaga ko`ra difraksiya maksimumiga de-Broyl to`lqinning eng katta intensivligi (ravshanligi) mos keladi. Fazoning qayeriga ko`p sonli zarrachalar tushayotgan bo`lsa, o`sha joyda de-Broyl to`lqinining intensivligi (ravshanligi) ham katta bo`ladi. Boshqacha qilib aytganda mikrozarrachalardan hosil bo`ladigan difraksiya manzarasi zarrachalarning fazoning o`sha joyiga tushish ehtimolligiga bog`liq.

Kvant nazariyasining o`ziga xos tomoni shundaki, mikrozarrachalaning xossalarini o`rganishda ehtimolliklar qonuniyatlaridan foydalaniladi.

1926 yilda M.Bornning (1882-1970) ko`rsatishicha to`lqin qonuniyat bilan ehtimollik o`zgarmasdan, balki ehtimollikning amplitudasi o`zgaradi. Ehtimollikning amplitudasi fazoning koordinatalari va vaqtga bog`liq bo`lgan (x, y, z, t) to`lqin funksiya orqali ifodalanadi. Ehtimollik amplitudasi mavhum bo`lishi mumkin. Shuning uchun ehtimollik, uning modulining kvadratiga proporsional:

W (x, y, z, t) ² (5.1)

Demak, De-Broyl to`lqini amplitudasining kvadrati fazoning ayni nuqtasida mikrozarrani qayd qilish ehtimolligini harakterlaydi.

Shunday qilib, mikrozarrachaning holatini to`lqin funksiya bilan ifodalash statistik yoki boshqacha aytganda ehtimollik harakteriga ega. To`lqin funksiya qiymatining kvadrati zarrachani t vaqt momentida fazoning koordinatalari x va x+dx, y va y+dy, z va z+dz sohasida topilish ehtimolligini ko`rsatadi.

Demak, kvant mexanikasida zarrachaning holati butunlay yangicha, ya`ni zarrachaning ham to`lqin, ham korpuskulyar xususiyatini o`zida mujassamlashtirgan to`lqin funksiya orqali ifodalanadi. Zarrachani hajmning dv bo`lakchasida bo`lish ehtimolligi

dW=² d v (5.2)

ko`rinishda ifodalanadi. Bunda  - funksiya qiymatining kvadrati

² =

ehtimollik zichligini bildiradi. Bu yerda shuni nazarda tutish keraki, - funksiyaning o`zi fizik ma`noga ega bo`lmasdan, uning qiymatini kvadrati fizik ma`noga ega bo`lib, <sup>2</sup>ni haqiqiy va mavhum <sup>*</sup> funksiyalarining ko`paytmasi tarzda ifodalanadi va absolyut qiymatini kvadrati olinadi:

²= ^. ^*

Zarrachani V hajm chegarasida t vaqtda topilish ehtimolligini hisoblash uchun ehtimolliklarni qo`shish teoremasiga asosan V-hajm bo`yicha integrallash kerak:

Agarda zarracha haqiqatdan ham mavjud bo`lsa, uni butun V hajmda bo`lish ehtimolligi 1ga teng bo`ladi. Shu holda  - funksiya normallash deb ataluvchi shartni qanoatlantiradi. Ya`ni

(5.3)

bo`ladi. Ko`pincha ifodani biror zarrachani dv hajmni qayerga joylashishini bildiradi deb talqin qilinadi. Bunchalik sodda tushunish unchalik to`g`ri emas. Chunki, zarracha, masalan elektron, moddiy nuqta emaski, u cheksiz kichik dv hajmda joylashsa. Agar uni ta`siri bu hajmda sezilgan taqdirda ham, uni shu hajmda joylashgan deb bo`lmaydi. Shuning uchun uning ta`sir sohasi bilan joylashish sohasi orasidagi farq bor. Misol uchun elektron atomga urilib, uni ionlashtirdi deylik. Ammo bu urilishni elastik sharlarning urilishiga o`xshatib bo`lmaydi. Chunki, elektronning ta`sir doirasida turgan atomning o`lchami elektronga tegishli bo`lgan de-Broyl to`lqini (-funksiya) egallagan sohadan ancha kichikdir. Shuning uchun elektronni yoki boshqa har qanday zarrachaning topilish sohasi deganda biz ularni ta`siri sezilgan sohani tushunishimiz lozim. Demak, zarrachani joylashish sohasi bilan ta`sir sohasi bir-biridan farq qiladi.

-to`lqin funksiya zarrachaning holatini to`liq ifodalashi uchun u qator chegaraviy shartlarini qanoatlantirishi kerak:

a)  - funksiya chekli bo`lishi kerak, chunki mikrozarrachani fazoning biror nuqtasida qayd qilish ehtimolligining qiymati birdan katta bo`lishi mumkin emas;

b) - funksiya bir qiymatli bo`lishi kerak, chunki mikrozarrachani fazoning biror nuqtasida qayd qilish ehtimolligining qiymati har hil bo`lishi mumkin emas;

v) - funksiya uzuluksiz bo`lishi kerak, chunki mikrozarrachani qayd qilish ehtimolligi sakrashsimon ravishda o`zgarmaydi.

-funksiya superpozitsiya prinsipini qanoatlantiradi. Masalan, sistema ₁, ₂, ₃ , ..., _n to`lqin funksiyalar bilan ifodalanuvchi turli holatlarda bo`lsa, bu funksiyalarning chiziqli kombinatsiyasidan iborat bo`lgan holatda bo`lishi ham mumkin:

bu yerda C_n <(n=1,2,3,...) qandaydir kompleks son. Kvant mexanikasida to`lqin funksiyalarni bunday qo`shilishi klassik statistik nazariyadagi ehtimolliklarni qo`shishdan tubdan farq qiladi. Kvant mexanikasida  funksiyani bilgan holda mikroob'yektni ifodalovchi fizik kattalikni o`rtacha qiymati hisoblanadi. Masalan, elektrondan yadrogacha bo`lgan o`rtacha masofa quyidagi formula bilan aniqlanadi:

Mikrozarrachaning to`lqin xususiyatini tajrbada tasdiqlanishi, uning bu to`lqin xususiyatini ( (x,y,z,t) - to`lqin fuktsiyani) va kuchlar maydonidagi harakatini ifodalovchi tenglama yaratish zaruriyatini tug`dirdi. Ma`lumki, to`lqin funksiyaning kvadrati zarrachani t-vaqtda dv hajm bo`lagida bo`lish ehtimolligini ifodalaydi. Demak zarrachani harakat tenglamasi uning to`lqin xususiyatini hisobga olgan elektromagnit to`lqinlar tenglamasiga o`xshagan bo`lishi kerak. Kvant mexanikasining bunday tenglamasini 1926 yilda E.Shredinger yaratdi.

Shredinger tenglamasi Nyuton va Maksvell tenglamalariga o`xshab, tayyor holda isbotsiz qabul qilinadi:

(5.4)

bu yerda ; - Diran doimiysi. m-zarrachaning massasi. - quyidagi ifodaga teng:

=

-belgi Laplas operatori yoki laplasiyan deyilib, koordinatalardan olingan ikkinchi tartibli xususiy hosilani bildiradi:

=

i- kompleks son, U (x,y,z,t)-zarrachaning potensial energiyasi. (5.4) tenglama Shredingerning umumiy tenglamasi yoki vaqtga bog`liq tenglamasi deb yuritiladi. Shredinger tenglamasidan olingan natijalarni tajribada tasdiqlanishi, uni tabiatning muhim qonunlaridan biri ekanligini isbotlaydi. (5.4) tenglamadagi yorug`lik tezligiga nisbatan bir muncha kichik tezlik bilan harakatlanuvchi har qanday mikrozarracha uchun to`g`ridir. (5.4) tenglamadagi Ψ-to`lqin funksiyasiga qo`yilgan chegara shartlarni (tugal, bir qiymatli va uzluksiz) qanoatlantirish bilan birga to`lqin funkiyadan olingan xususiy xosila uzluksiz, to`lqin funksiyaning kvadrati -integrallanuvchi bo`lishi kerak.

Kimyoda foydalanish vaqtida Shredinger tenglamasi sodda ko`rinishga keltiriladi.  va U ni vaqtga bog`liqligi hisobga olinmaydi. Haqiqatan ham zarracha doimiy maydonda harakat qilayotgan bo`lsa, U (x, y, z, t) funksiya vaqtga bog`liq bo`lmasdan, potensial energiyaning o`zini ifodalaydi. Bu holda Shredinger tenglamasining yechimini ikkita funksiyani ko`paytmasi tarzida ifodalash mumkin. Birinchi funksiya faqat koordinatga bog`liq bo`lsa, ikkinchi funksiya faqat vaqtga bog`liq bo`ladi.

(5.5)

(5.5) ko`rinishdagi tenglama Shredingerning turg`un holat uchun tenglamasi deyiladi. Kvant mexanikasining xususan, kimyoda uchraydigan ko`p masalalarini yechishda shu (5.6) tenglamadan foydalaniladi. Biz ham shu tenglamaning ayrim masalalarni yechishdagi tadbiqlarini ko`rib chiqamiz. Differensial tenglamalar nazariyasidan ma`lumki, Shredinger tenglamasiga o`xshash tenglamalar har doim ham yyechimga ega bo`lavermaydi. U faqat energiyaning ma`lum bir aniq qiymatidagina xususiy yyechimga ega bo`ladi. E energiyaning topilgan qiymati uzluksiz yoki diskret bo`lishi mumkin.
6. Shredinger tenglamasining tadbiqlari. Mikrozarrachaning erkin harakati.

Agar zarracha erkin, unga hech qanday tashqi kuchlar ta`sir etmayotgan bo`lsa, uning potensial energiyasi nol (U=0) bo`lib, to`liq energiyasi uning kinetik energiyasidangina iborat bo`ladi. Masalani soddalashtirish uchun zarracha koordinatning x o`qiga parallel holda harakatlanmoqda deb olamiz. Uni y, z, t koordinatalaridan olingan xususiy hosilalari nol bo`lib, Laplas operatorida bitta had qoladi:

=

Bu holda Shredinger tenglamasi soddalashib, quyidagi ko`rinishni oladi:

(6.1)

(6.1) ko`rinishdagi differensial tenglamaning xususiy yechimi yassi to`lqin tenglama ko`rinishda bo`ladi:

(x,t)=Asin(t-кх) (6.2)

Bunga ishonch hosil qilish uchun (6.2) ifodani va ni (6.1) ga qo`yib ko`ramiz.

-к² A sin(t - кх) + sin(t - кх) = 0

bundan (6.3)

ekanini topamiz. bo`lgani uchun

(6.4)

kelib chiqadi. Ko`rinib turibdiki, hosil qilingan bu ifoda de-Broyl formulasining o`zginasi. Bu Shredinger tenglamasidan de-Broyl formulasi kelib chiqishini bildirmaydi. Aslida buning teskarisi. Shredinger o`zida de-Broyl to`lqinini mujassamlashtirgan tenglamani izlab topgan.

(6.4) ni boshqacha ko`rinishda ham yozish mumkin

(6.5)

(6.5) dan ko`rinadiki, erkin zarrachaning energiyasi har qanday qiymatni olishi mumkin ekan. Ya`ni , uning energiya spektri uzuluksizdir. Bu to`lqin soni k ni va zarrachaning impulsi P<sub>x</sub> ni uzluksiz holda o`zgarishidan kelib chiqadi.

Shunday qilib, erkin zarracha kvant mexanikasida yassi monoxromatik de-Broyl to`lqini (6.5) bilan ifodalanadi. Bunday zarrachani fazoning har qanday nuqtasida topilish ehtimolligi bir xil bo`lib amplitudaning kvadratiga teng:

²= ^. ^*=А²

Shredinger tenglamasi erkin zarrachaning energiyasiga hech qanday chegara qo`ymaydi. Ya`ni , uning energiyasi kvantlanmaydi, u har qanday qiymatni olishi mumkin.


7. Cheksiz chuqur, bir o`lchovli potensial o`radagi zarracha harakati

Zarracha kengligi  bo`lgan cheksiz chuqur potensial o`rada harakatlanayotgan bo`lsin. O`raning devorlari cheksiz baland bo`lgani uchun zarracha undan tashqariga chiqa olmaydi. Uni koordinatasi 0  х   qiymatlarni olishi mumkin. Zarracha o`raning devorlariga urilib, undan qaytishi natijasida devorlar orasida to`g`ri chiziqli traektoriya bilan harakat qilishi mumkin. Zarrachaning bu o`radagi potensial energiyasi manfiy va cheksizdir (u=-). Agar elektron o`radan chiqqan taqdirda uning potensial energiyasi nol bo`lib, u erkin zarrachaga aylanadi. Shunday qilib l kenglikdagi, cheksiz chuqur potensial o`radagi zarrachaning potensial energiyasi uchun

U(x)=

shartni yozish mumkin. Bunday potensial o`raning grafigi 1-rasmda ko`rsatilgan. Agar bu o`radagi zarrachaning to`lqin xususiyatini hisobga olsak, unga de-Broyl turg`un to`lqini mos keladi. Bu de-Broyl turg`un to`lqini ikki uchi maxkamlangan to`rda hosil bo`luvchi to`lqinga o`xshatish mumkin. Ma`lumki, bunday to`r bitta chastota bilan emas, balki o`zini xususiy chastotasiga karrali bo`lgan bir necha chastotada tebranishi mumkin.

Ikki uchi mahkamlangan bunday to`rda turg`un to`lqin hosil bo`ladi. To`rning uzunligiga bir necha turg`un to`lqin to`g`ri keladi. Bunda to`rning uzunligiga doimo butun sondagi yarim to`lqin uzunligi joylashdi:

, n=1,2,3,... (7.1)

Potensial o`radagi elektron uchun tegishli bo`lgan de-Broyl to`lqini ham turg`un to`lqindan iborat bo`ladi.(8.1) formuladagi ni o`rniga to`lqin soni K ni qo`ysak, de-Broyl formulasini quyidagi ko`rinishda yozish mumkin.

, n=1,2,3,... (7.2)

(7.2) formuladan ko`rinadiki, potensial o`radagi elektronning impulsi diskret qiymatlarni oladi yoki boshqacha aytganda u kvantlanadi.

Energiya bilan impuls orasidagi Е=р²/2m bog`lanishni hisobga olib elektronning energiyasi uchun

E=n²,n=1,2,3,... (7.3)

formulani hosil qilamiz.

(7.3) formuladan ko`rinadiki, potensial o`radagi elektronning energiyasi ham kvantlanar ekan. Biz (7.3) formulani Shredinger formulasidan foydalanmay, o`radagi elektronga tegishli bo`lgan de-Broyl to`lqinini ikki uchi mahkamlangan to`rda hosil bo`luvchi turg`un to`lqinga o`xshatib keltirib chiqardik. (7.3) formulani Shredinger tenglamasi yordamida ham keltirib chiqarish mumkin.

Potensial o`rada elektron X o`qi yo`nalishida gorizontal chiziq bo`ylab harakatlanadi deb olganimiz uchun Shredinger tenglamasi quyidagi ko`rinishda bo`ladi:

(7.4)

O`rani devorlari cheksiz baland bo`lgani uchun zarracha o`radan tashqariga chiqa olmaydi. Shuning uchun zarrachani o`radan tashqarida bo`lish ehtimolligi nolga teng.

O`rani chetlarida x=0 va х= bo`lganda to`lqin funksiya ham nolga aylanadi. Ya`ni chegaraviy shart

(x)=()=0 (7.5)

ko`rinishda bo`ladi.

O`rani ichidagi zarracha uchun Shredinger tenglamasi

yoki (7.6)

kurinishda bo`ladi. Bu yerda к<sup>2</sup>= (7.7)
(7.7) ko`rinishdagi differentsial tenglamaning umumiy yechimi

 (х) = A _sinkx + В соskx

tenglamadan iborat bo`ladi. Agar (7.5) chegarviy shartdan

 (0)=0 bo`lishi uchun В=0 ekanligini hisobga olsak, (7.7) tenglamani echimi

 (х) = A_sinkx (7.8)

bo`ladi. х= ekanligini hisobga olsak, (7.8) formula

 () = A_sinк

ko`rinishni oladi. Yuqoridagi (7.5) chegara shart, ya`ni

 () = A_sink=0 bo`lishi faqat k= n bo`lganda bajariladi. Demak,

(7.9) ekan.

(7.9) ni (7.7) ga qo`yib, zarrachaning energiyasi uchun

(7.10)

ifodani topamiz. Bu ifoda yuqorida boshqacha yo`l bilan topilgan (7.3) ifodaning o`zginasi. (7.10) formuladagi n, n =1,2,3,... bo`lgan butun sonlar qatorini qabul qiladi va uni kvant soni deb ataladi. Energiyaning kvantlangan qiymatini energiya sathi deb yuritiladi. Kvant soni energetik sathni tartibini n belgilaydi. Shunday qilib, potensial o`radagi zarracha faqat aniq bir energetik sathda, yoki boshqacha aytganda aniq bir n kvant holatida bo`lar ekan.

Energiyaning kvantlanishini grafik usulda tasvirlash qulay. Energiya kvantini qiymati yoki boshqacha aytganda (7.10) formula bilan topilgan energetik sathlar X o`qiga parallel bo`lgan gorizontal chiziqlardan iborat bo`ladi (2-rasm). Zarrachaning to`liq energiyasi E potensial va kinetik energiyaning yig`indisiga teng bo`ladi (E=U+E_k). Yuqorida aytib o`tganimizdek cheksiz chuqur o`radagi zarrachaning potensial energiyasi U=- bo`ladi. Yuqoridagi energiyaning kvantlanish formulasi (7.10) zarrachaning kinetik energiyasiga tegishli. Ma`lumki, kinetik energiya doimo musbat. Ammo, o`radagi zarrachaning to`liq energiyasi manfiy bo`ladi. Chunki,

Е=-  +Е_к <0

Bunday bo`lishi bog`langan zarracha uchun o`z-o`zidan tushunarli. Faqat n= bo`lganda zarrachaning kinetik energiyasi cheksiz katta bo`lib, to`liq energiyasi nol bo`lishi mumkin. Bu holda zarracha potensial o`radan chiqadi va erkin zarrachaga aylanadi. (7.8) formulaga K ning (7.9) ifodasini qo`yamiz:

 (х) = Asinx

Bu tenglamadagi A ni ehtimollikning normallash shartidan topamiz.

Ya`ni ,

Yuqoridagi ifodani integrallab, undan A= ekanligini topamiz va _n (х) funksiya _n (х)= sinx (n=1, 2, 3, . . .) (7.11)

ko`rinishda bo`ladi. Bu funksiyani n=1,2,3 bo`lgandagi grafigi va unga mos energetik sathlar 3(a)-rasmda ko`rsatilgan. 3(b)-rasmda zarrachani o`raning qayerida topilish ehtimolligi zichligi -<sub>n</sub>(x)<sup>2</sup>, n=1, 2, 3 kvant holatlar uchun tasvirlangan. 3(b)-rasmdan ko`rinadiki, n=2 kvant holat uchun zarracha o`raning o`rtasida bo`lishi mumkin emas, ammo uni chap va o`ng tomonlarida bo`lish ehtimolligi bir xil. Zarrachalarning bunday xususiyati kvant mexanikasida zarrachaning trayektoriyasi degan tushunchaning ma`nosi yo`qligini bildiradi. (7.10) formulaga ko`ra ikki qo`shni energetik sathlar orasidagi energiya oralig`i quyidagicha aniqlanadi:

(7.12)

Agar o`raning kengligi katta bo`lsa, E juda kichik bo`ladi. Masalan, o`raning kengligi =10^-1m bo`lganda (metalldagi erkin elektronlar uchun) Е1,2∙10<sup>-35</sup> nJ=0,74∙10<sup>-16</sup> neV bo`ladi. Ya`ni bunday kichik qiymati metalldagi erkin elektronlar energiya sathlari juda zich joylashganligi, ya`ni energiya spektri uzluksiz ekanligini ko`rsatadi. Agar o`raning kengligi atom o`lchamiga yaqin bo`lsa (=10^-10m), E_n uchun E_n=1,2∙10^-17 nJ=0,74∙10² neV qiymat kelib chiqadi. Bu miqdor turli kvant holatda bo`lgan elektronlarning energiyalari bir-biridan farq qilishini ko`rsatadi. Shunday qilib, Shredinger tenglamasini chuqur potensial o`radagi zarrachaga tadbiqi zarracha energiyasining kvantlanishini ko`rsatadi. Klassik mexanikada esa zarracha energiyasiga hech qanday chegara qo`yilmaydi.

Bundan tashqari (7.10) formuladan potensial o`radagi zarrachaning eng kichik energiyasi n=1 bo`lgandagi

formula bilan aniqlanuvchi energiyadan kichik bo`la olmaydi. Zarrachaning eng kichik energiyasini noldan katta bo`lishi noaniqliklar munosabatidan kelib chiqadi.

Ma`lumki, kengligi  bo`lgan o`rada koordinatani noaniqligi x= bo`ladi. Bunda noaniqliklar munosabati (8.3)ga binoan zarrachalarning impulsi nol bo`la olmaydi. Impulsning noaniqligi ph/ bo`ladi. Impulsning bunday o`zgarishiga E<sub>min</sub>(р)<sup>2</sup>/(2m)/2m<sup>2</sup> kinetik energiya mos keladi. Boshqa qolgan sathlarning (n >1) energiyasi eng kichik energiyadan doimo katta bo`ladi.

(7.10) va (7.12) formulalardan kvant sonlarining katta qiymatlarida (n>>1) E_n/E_n <<1 bo`lib, qo`shni energetik sathlar bir-biriga yaqinlashib, diskretlik yo`qoladi. Bu natija Borning moslik prinsipining (1923) xususiy xoli bo`lib, yuqori kvant sonlarida kvant mexanikasi qonunlari klassik fizika qonunlariga aylanishini ko`rsatadi. Hozirgi zamon fizikasida muhim rol o`ynayotgan moslik prinsipiga quyidagi ta`rifni berish mumkin:

Klassik fizikani rivojlantirish natijasida yaratilgan har qanday yangi nazariya klassik nazariyani to`liq inkor etmaydi, balki uni ham o`z ichiga olib, qo`llanish chegarasini ko`rsatib, ma`lum chegaraviy hollarda u eskisiga aylanadi.

Ma`lumki, maxsus nisbiylik nazariyasining kinematikasi va dinamikasi formulalari v<