ÖĞrenme hedefleri: Kar teorisini teorik olarak kavrar. Türevler yardımıyla kar fonksiyonunu maksimize edebilir

SAKARYA ÜNİVERSİTESİ

İktisadi Matematik

Hafta 11

11. Bölüm: Firmanın Kar Maksimizasyonu

Yrd. Doç. Dr. Şakir Görmüş

ÖĞRENME HEDEFLERİ:

1. Kar teorisini teorik olarak kavrar.
2. Türevler yardımıyla kar fonksiyonunu maksimize edebilir.

3. Türevler yardımıyla MR ve MC arasındaki ilişkiyi açıklayabilir.

4. TR, TC, MR, MC, ATC ve fonksiyonlarının grafiğini çizebilir.

İÇİNDEKİLER:

13. 1. Kar Maksimizasyonu

13. 2. Tam Rekabet Şartlarında Kâr Maksimizasyonu

13. 3. TR, TC, MR, MC, ATC ve , Fonksiyonları Arasındaki İlişkinin Örnek Yardımıyla Açıklanması

13.1. Kar Maksimizasyonu

Bu bölümde tek bir firmanın karını maksimize ederken nasıl bir davranış göstereceği, yani ne kadar üretim gerçekleştireceği incelenecektir. Kâr () toplam gelir (TR) ve toplam maliyet (TC) arasındaki fark olarak tanımlanmaktadır.

Toplam gelir firmanın ürününün satış fiyatı ile miktarının çarpılması ile bulunur ve aşağıdaki gibi ifade edilir.

TR = P.Q

Toplam maliyet ise üretimde kullanılan üretim faktörlerine ve onların fiyatına bağlıdır.

TC = wL + rK

Böylece kar fonksiyonu aşağıdaki gibi ifade edilebilir.

wL + rK

Yukarıdaki ifadede görüldüğü gibi TR ve TC üretimin (Q) bir fonksiyonudur. Bundan dolayı kar fonksiyonu aşağıdaki şekilde de ifade edilebilir.

Yukarıda yazmış olduğumuz toplam gelir ve toplam maliyet fonksiyonları piyasa koşullarından bağımsız, yani firmanın tekel veya tam rekabetçi bir endüstride faaliyet gösteren bir firma olmasından bağımsız olarak yazılmıştır. Başka bir deyişle, yazmış olduğumuz toplam gelir ve toplam maliyet fonksiyonları tekelci veya tam rekabetçi bir firma için de yazılabilir.

Bu koşullar altında firmanın karını maksimum yapacak üretim seviyesi ne olacaktır?

1. 
   Koşul: İlk olarak kar fonksiyonunun üretime göre türevini alarak sıfıra eşitlememiz gerekmektedir.
   

Toplam gelirin birinci türevi (marjinal gelir) ve toplam maliyetin birinci türevi (marjinal maliyet) birbirine eşittir.

Firmanın faaliyet gösterdiği piyasa koşullarından bağımsız olarak karını maksimum yapacak üretim seviyesini bulmak için birinci koşul, marjinal gelirin marjinal maliyete eşit olmasıdır. Daha önce ifade ettiğimiz gibi bu koşul gerekli, ancak yeterli koşul değildir. Bulunan üretim seviyesinin (lokal) maksimumu temsil etmesi için ikinci türevine de bakılması gerektiğini biliyoruz.

2. Koşul: Bulunan üretim seviyesinin (lokal) maksimumu temsil etmesi için ikinci türevin negatif olması gerekir.

En son yazmış olduğumuz ifade firma karını maksimize ettikten sonra üretimde artış yoluna giderse marjinal gelirdeki () değişme oranının marjinal maliyetteki () değişme oranından küçük olduğunu göstermektedir.

13.2. Tam Rekabet Şartlarında Kâr Maksimizasyonu

Tam rekabet koşularında faaliyet gösteren bir firma üretiminde değişiklik yapmakla piyasa fiyatını etkilemeyecektir. Çünkü piyasada çok sayıda küçük firma var ve bu firmalar piyasa fiyatını tek başlarına etkileyememektedirler. Böylece piyasa fiyatı, tek tek firmalarca değil de, piyasa tarafından belirlenmektedir. Dolayısıyla firma piyasada oluşan fiyatı kabullenir ve bu fiyattan dilediği kadar alım ve satım yapabilir. Tek bir firma için toplam gelir fonksiyonunu yazarsak;

Buradaki piyasa fiyatı piyasadaki tüm firmalar tarafından kabullenilen birim fiyattır ve ise tek bir firmanın piyasaya satmak için getirdiği ürün miktarını göstermektedir. sabit olduğundan toplam gelir fonksiyonu doğrusal bir fonksiyonu göstermektedir. TR fonksiyonu için türev alırsak;

elde edilir.

Piyasa fiyatı () marjinal gelire () eşittir.

Aşağıdaki grafik tam rekabet piyasasında faaliyet gösteren bir firmanın kar maksimizasyonunu göstermektedir.

Grafik a’da ve fonksiyonlarını görmekteyiz. fonksiyonu doğrusal bir fonksiyon iken, fonksiyonu genel varsayımlarla uyumludur. Q₁ ve Q₃ üretim seviyelerinde

MR = MC iken Q₁ üretim seviyesinde firmanın karı minimum (TC > TR) ve Q₃ üretim seviyesinde firmanın karı maksimumdur (TR > TC).

Grafik b’de ise farklı üretim seviyelerinde ve farkını gösteren kar fonksiyonunu göstermektedir. ve üretim seviyelerinde olduğu, yani karın sıfır olduğu başabaş noktalarını görülmektedir. Üretim’den az veya ’den fazla olursa negatif kar (zarar) söz konusudur, çünkü bu durumda > olmaktadır. Üretim seviyesi ve arasında olduğunda ise > geçerli ve net bir kar vardır. Bilindiği gibi optimizasyonda birinci koşul birinci türevin sıfıra eşitlenmesidir. Burada kar fonksiyonunun birinci türevi sıfıra eşit olmalıdır. Grafik b’de ve üretim noktalarında bu koşulun sağlandığını görmekteyiz. Bu üretim seviyelerinde ve ’nin eğimleri birbirlerine eşittir, dolayısıyla ve birbirlerine eşittir.

Grafik c’de ve ’nin birbirlerine eşit olduğu ve üretim seviyelerinden ilki minimum karı, sonraki ise maksimum karı temsil etmektedir. Her iki üretim seviyesinde de optimizasyon için gerekli olan birinci türevin sıfıra eşitlenmesi koşulu sağlanmış olmasına rağmen, iki üretim seviyesi de maksimum karı göstermez. O zaman firmaya maksimum karı sağlayan üretim seviyesini bulmak için ikinci türeve bakmamız gerekmektedir. Bu da ancak, toplam gelirin ikinci türevinin toplam maliyetin ikinci türevinden küçük olması durumunda sağlanır. Yani, toplam maliyet eğrisinin yükseliyor olmasıdır. Başka bir deyişle, karı maksimize eden üretim seviyesini bulmak için marjinal gelirin () eğiminin marjinal maliyetin () eğiminden küçük olması gerekmektedir. üretim seviyesinde eğrisi negatif eğimlidir ve böylece ’nin eğimi ’nin eğiminden küçüktür. üretim seviyesinde ise pozitif bir eğime sahiptir ve böylece ’nin eğimi ’nin eğiminden büyüktür.

Özetlersek:

• 
  0-Q₁ aralığında MC > MR olduğundan, bu aralıkta her ilave üretimden firma zarar etmektedir. Toplam zarar artmaktadır.
  
• 
  Q₁-Q₃ aralığında MC < MR olduğundan, bu aralıkta her ilave üretimden firma kar etmektedir. Toplam zarar Q₂ üretim düzeyinde azalarak sıfır olmakta ve firma bu noktadan sonra kara geçerek Q₃ üretim seviyesinde karını maksimize etmektedir.
  
• 
  Q₃ üretim seviyesinden yine MC > MR olduğundan her ilave üretimden firma zarar etmektedir. Toplam kar azalarak Q₄ üretim seviyesinde sıfır olmakta ve bu noktadan sonra firma tekrar zarar etmektedir.
  

13. 4. TR, TC, MR, MC, ATC ve , Fonksiyonları Arasındaki İlişkinin Örnek Yardımıyla Açıklanması

Şimdi teorik ve grafiksel olarak anlattıklarımızı sayısal örnekle açıklamaya çalışalım.

Doğrusal toplam gelir fonksiyonu

TR = 18Q

Toplam maliyet fonksiyonu ise,

TC = Q³ – 9Q² + 33Q

olarak verilmiş olsun.

1. 
   MC fonksiyonunu bulunuz?
   

2. 
   MC fonksiyonunu minimum yapan üretim miktarını bulunuz?
   

Q = 3 iken MC minimum değerine ulaşacaktır. Bu değer aynı zamanda TC fonksiyonunun ikinci türevini sıfır yapan değer olduğundan dönüm noktasını da vermektedir.

TC fonksiyonunun dönüm noktasını bulalım.

Q = 3, TC fonksiyonunun dönüm noktasıdır.

3. 
   Minimum MC_min bulunuz?
   

MC_min (3) = 3 (3)² – 18 (3) + 33 = 6

4. 
   ATC fonksiyonunu bulunuz?
   

5. 
   ATC fonksiyonunu minimum yapan üretim miktarını bulunuz?
   

Q = 4.5 iken AVC minimum değerine ulaşacaktır.

6. 
   Minimum AVC_min bulunuz?
   

AVC_min (4.5) = (4.5)² – 9 (4.5) + 33 = 12.75

7. 
   Kar fonksiyonunu yazınız.
   

8. 
   Firmanın karını maksimize eden üretim miktarını bulunuz.
   

Görüldüğü üzere üretim 5 iken firma karını maksimize ederken üretim 1 iken firma karını minimize (zararını maksimize) etmektedir.

Bulunan bu iki üretim seviyelerin hangisinin karı maksimize ettiğini ikinci türev yardımıyla da bulabiliriz.





için

için

Q = 5 üretim seviyesi seçildiğinde ikinci türev negatif olmakta ve gerekli ve yeterli koşul yerine getirilmiş olmaktadır.

9. 
   TR-TC, ve MR-MC-ATC fonksiyonlarının grafiklerini çiziniz.