O‘zbekiston respublikasi oliy ta’lim, fan va innovatsiyalar vazirligi farg‘ona davlat universiteti matematika-informatika fakulteti matematika yo‘nalishi

2-§.Harakat va almashtirishlar gruppasining xossalari.
Agar f(M)= M1 almashtirish o‘zaro bir qiymatli almashtirish bo‘lsa, har bir M obrazga bittagina M proobrazi topiladi, bu holda M nuqtaga M ni mos keltiruvchi (ya’ni obrazdan proobrazga o‘tishdan iborat) almashtirish f almashtirishga nisbatan teskari almashtirish deb ataladi va f-1 bilan belgilanadi:
F -1 (M) = M!
Geometriyada uchraydigan hamma o‘zaro bir qiymatli almashtirishlar ichida harakat deb ataluvchi almashtirishlar muhim o‘rin tutadi. Geometriyada harakat quyidagicha tariflanadi:
Agar almashinuvchi figuraning har qanday ikki M va N nuqtalarini tutashtiruvchi MN kesma shu nuqtalarning obrazlari M va N nuqtalarni tutashtiruvchi kesmaga teng bo‘lsa, bunday almashtirish harakat deb ataladi.Demak, harakatda almashtiriluvchi figuraning har ikki nuqtasi orasidagi masofa o‘zgarmaydi ya’ni harakat qaytma almashinishdir.
Agar f almashtirish harakat bo‘lsa, bu almashtirish o‘zaro bir qiymatli bo‘ladi. Haqiqatdan AI obraz bitta proobrazga emas balkim ikkita A1 va A2 proobrazga ega deb faraz qilaylik. Bu holda harakatning ta'rifiga ko‘ra A1 A2- AI AI =0 bo‘lishi kerak: ya’ni A1 va A2 nuqtalar ustma ust tushishi lozim, ammo A1 va A2 nuqtalar har xil bo‘lgani uchun bu tenglik bajarilmaydi. Demak, harakat natijasida har bir obraz birgina proobrazga ega bo‘lib, almashtirish o‘zaro bir qiymatli bo‘ladi.
Agar F figura harakat bo‘lgan almashtirish natijasida F1 figuraga o‘tsa, F va F1 figuralar o‘zaro teng deb ataladi. Harakat bilan tenglikning ta’riflaridan ma’lum bo‘ladiki, harakat teng figuralarning nuqtalari oarsidagi bir qiymatli moslikdir ya’ni harakat teng figuraga o’tkazuvchi almashtirishdir.
Almashtirishlar gruppasining umumiy xossalari;
1.Almashtirishlar to‘plami о dagi har qandayikki almashtirishning ko‘paytmasi (yoki yig‘indisi) yana shu о to‘plamga tegishli almashtirish bo‘ladi.
Almashtirishlar gruppasining bu xossasiga qisqacha almashtirishlar to‘plamining yopiqlik xossasi deyiladi.
2. Almashtirishlar to‘plami о dagi ixtiyoriy uchta almashtirishni ko‘paytirish assotsiativlik qonuniga bo‘ysunadi : о to‘plamga qarashli ixtiyoriy uchta f 1, f 2, f3 almashtirishlar uchun ushbu
(f 1* f 2* ) *f3=f 1 *( f 2 *f3)
Munosabat bajariladi.
3. Almashtirish to‘plamida о-birlik f 0 almashtirishga ega, ya’ni u almashtirish figurani aslicha qoldirish xossasiga egadir.
4. о to‘plamdagi har qanday almashtirish teskari almashtirishga egadir, ya’ni to‘plamdagi har bir f almashtirishga teskari f-1 almashtirish mavjud, bu almashtirish shu to‘plamga kiradi va f * f -1 =f *f = f 0 bo‘ladi.
Tekislikdagi almashtirishlar. Ikki o‘lchovli barcha narsalarni kompyuter grafikasida 2D (2-dimension) belgisi bilan ifodalash (kiritilgan) qabul kilingan.Faraz qilamizki tekislikda to‘g‘ri chiziqli koordinatalar sistemasi kiritilgan(berilgan) bo‘lsin. Unda xar kanday M nuqtaning koordinatasini aniqlash uchun ikki juft (x,y) sonlari olinadi. Ushbu tekislikda yana bitta to‘g‘ri chiziqli koordinatalar sistemasini kiritgan holda M nukta uchun yangi mos juft (x',y') kordinatalarni hosil qilamiz. Tekislikda bitta to‘g‘ri chiziqli koordinatalar sistemasidan boshqasiga o‘tish quyidagi tenglamalar orqali amalga oshiriladi:


(1)

Bu erda α, β, γ, σ, λ, μ - ixtiyoriy sonlar.

Boshqa tomondan qaraganda, agar biz nuqta o‘zgarib koordinatalar sistemasi o‘zgarmas deb qabul qilsak, u holda (1) formulalar M(x,u) nuqtani M’(x’,y’) nuqtaga almashtirishini ifodalaydi