O‘zbekiston respublikasi oliy ta’lim, fan va innovatsiyalar vazirligi farg‘ona davlat universiteti matematika-informatika fakulteti matematika yo‘nalishi

3-§.Tekislikda dekart koordinatalar sistemasini almashtirish.
Tekislikda dekart koordinatalar sistemasi berilgan bo‘lib uni koordinatalar boshi O nuqta atrofida burchakka burishni qaraylik.
1-tasdiq.Nuqtaning “eski” va “yangi” koordinatalari orasidagi bog‘lanish

tenglamalar sistemasi bilan aniqlanadi.
Isbot. Bir vektordan ikkinchi vektorga qisqa yo‘nalish burilish yo‘nalishi soat strelkasi yo‘nalishiga qarama-qarshi bo‘lsa, bu vektorlar o‘ng ikkilik, aks holda chap ikkilik taskil etadi deyiladi. Basis sifatida biror ikkilik tanlansa, biz oriyentatsiya tanlab olingan deb hisoblaymiz. Bizga va ortonormal bazislar berilgan bo‘lsin. Bu bazislar yordamida kiritilgan Dekart koordinatalar sistemalarini mos ravishda Oxy va O'x'y' bilan belgilaylik.
Nuqtaning “eski” va “yangi” koordinatalari orasidagi bog’lanishni topamiz. “Yangi” koordinatalar sistemasi markazining “eski” koordinatalar sistemasidagi koordinatalarini bilan belgilaylik.
Tekislikda M nuqta berilgan bo‘lib uning Oxy va O'x'y' sistemalaridagi koordinatalari mos ravishda va juftliklardan iborat bo‘lsin.
Biz quyidagi tengliklarga ega bo‘lamiz:
= x + y , = x + y , = a + b
Har bir vektorni bazis orqali ifodalash mumkinligi uchun

munosbatlarni hosil qilamiz. Bu ifodalarni
= + , = x + y tengliklarga qo’yib
x + y = a + b + +
tenglikni hosil qilamiz.
Bazis vektorlar erkli oilani tashkil etganligi uchun yuqoridagi munosabatlardan

formulani olamiz. Endi koeffitsiyentlarni topish uchun ikkita holni qaraymiz.
Birinchi hol. va bazislar bir xil oriyentatasiyaga ega. Bu holda agar bilan va vektorlar orasidagi burchakni belgilasak, va vektorlar orasidagi burchak ham ga teng bo‘ladi. Yuqoridagi tengliklarning har ikkalasini
Yuqoridagi va vektorlarga skalyar ko‘paytirib
, , ,
formulalarni olamiz. Bu formulalarni formulalarga qo‘yib mos ravishda quyidagi ikkita formulalarni olamiz:

Ikkinchi hol. Agar va bazislar har xil oriyentatsiyaga ega bo‘lsa, va vektorlar orasidagi burchakni bilan belgilasak, va vektorlar orasidagi burchak ga teng bo‘ladi. Bu holda tengliklarning har birini va vektorga skalyar ko‘paytirib
, , ,
formulalarni hosil qilamiz. Bu holda koordinatalarni almashtirish formulalari



tenglik o‘rinli bo‘ladi.
Tekislikdagi almashtirishga misol sifatida ikkinchi tartibli chiziqlarning umumiy formulasini burish formulasi yordamida soddalashtirishni keltirishimiz mumkin. Bu haqida batafsil quyidagi mavzuda bilib olamiz.