§7. Differensial tenglamalarga tadbiqlar.
Olingan natijalarni quyidagi o’zgarmas koeffitsientli, n ta noma’lum
funktsiyali, birinchi tartibli m ta chiziqli differensial tenglamalar sistemasini
integrallashga tadbiqini qaraymiz.
n
k
i
n
k
k
ik
k
ik
m
i
t
f
dt
dx
b
x
a
1
1
,
.
.
.
,
2
,
1
,
(3.58)
yoki matritsa yozuvida
t
f
dt
dx
B
Ax
(3.59)
bu yerda
,
,
1
,
,
1
,
,
n
k
m
i
b
B
a
A
ik
ik
T
n
T
n
f
f
f
f
x
x
x
x
,
.
.
.
,
,
,
,
.
.
.
,
,
2
1
2
1
n
x
x
x
,
.
.
.
,
,
2
1
noma`lum funktsiyalar bilan o’zgarmas koyffitsentli chiziqli
xosmas matritsalar
O
Q
z
z
z
z
Qz
x
T
n
,
,
.
.
.
,
,
1
(3.60)
Orqali bog’langan yangi
n
z
z
z
,
.
.
.
,
,
1
1
funksiyalarni kiritamiz.
(3.59) tenglamada
x
ning o`rniga
Qz
ni qo’yib, (3.59) ni chapdan
P
ga
ko’paytirib quyidagini xosil qilamiz.
,
~
~
~
t
f
dt
dz
B
z
A
(3.61)
bu yerda
n
f
f
f
Pf
f
PBQ
B
PAQ
A
~
,
.
.
.
,
~
,
~
~
,
~
,
~
2
1
(3.62)
85
Shu bilan birga
B
A
va
B
A
~
~
matritsalar dastalari bir biri bilan qat’iy
ekvivalent:
Q
B
A
P
B
A
~
~
(3.63)
P
va
Q
matritsalarni shunday tanlaymizki, unda
B
A
~
~
dasta quyidagicha
kanonik kvazidioganal formaga ega bo’lsin:
E
J
N
N
L
L
L
L
O
B
A
s
q
h
p
d
u
u
T
T
,
,
...
,
,
,
...
,
,
,
.
.
.
,
,
~
~
1
1
1
(3.64)
(3.64) ning dioganal bloklariga mos differensial tenglamalar sistemasi
2
s
h
q
d
p
v
ta aloxida sistemalarga ajraladi.
,
~
f
z
O
(3.65)
g
p
i
f
z
dt
d
L
i
i
i
g
E
,
.
.
.
,
2
,
1
,
~
1
1
(3.66)
h
q
j
f
z
dt
d
L
j
g
p
j
g
p
T
j
h
E
,
.
.
.
,
2
,
1
,
~
1
1
(3.67)
s
k
f
z
dt
d
N
k
h
q
g
p
k
h
q
g
p
k
i
,
.
.
.
,
2
,
1
,
~
1
1
(3.68)
v
v
f
z
dt
d
J
~
(3.69)
bu yerda
f
v
f
f
f
z
v
z
z
z
~
.
.
.
~
2
~
1
~
,
.
.
.
2
1
(3.70)
.
.
.
,
~
~
,
.
.
.
,
,
~
,
.
.
.
,
~
,
~
~
,
,
.
.
.
,
,
1
2
1
2
1
1
1
1
1
1
h
g
h
g
f
f
z
z
f
f
f
f
z
z
z
z
(3.71)
va xakozo
,
dt
d
B
A
dt
d
agar
B
A
bo`lsa.
(3.72)
86
Shunday qilib, (3.59) sistemani integrallash, umumiy xolda (3.65)-(3.69)
xususiy sistemalarni integrallashga keltiriladi. Bu sistemalarda
B
A
matritsalar dastasi mos ravishda
E
J
N
L
O
u
,
,
L
,
,
)
(
T
ko’rinishlarga ega.
1. (3.65) sistemada qarama-qarshilik bo’lmasligi uchun
0
~
1
f
ya`ni
0
~
,
.
.
.
,
0
~
1
h
f
f
(3.73)
bo’lishi zarur va yetarli. Bu xolda
1
z
ustunni tashkil etuvchi
g
z
z
z
,
...
,
,
2
1
noma’lum funktsiyalar sifatida t ning ixtiyoriy funktsiyasini olish mumkin.
2. (3.66) sistema quyidagi ko’rinishdagi sistemani ifodalaydi:
f
z
dt
d
L
~
(3.74)
yoki yoyilgan yozuvda
t
f
z
dt
dz
t
f
z
dt
dz
t
f
z
dt
dz
E
E
E
~
,
.
.
.
,
~
,
~
1
2
3
2
1
2
1
(3.75)
Bunday sistemalar har diom birgalashgan bo’ladi. Agar
)
(
1
t
z
sifatida t
ning ixtiyoriy funktsiyani olsak, u xolda (3.75) dan ketma-ket kvadraturalarda
barcha qolgan
1
1
,
...
,
,
z
z
z
noma’lum funktsiyalarni aniqlaymiz:
3. (3.67) sistema quyidagi ko’rinishdagi sistemani ifodalaydi:
f
z
dt
d
~
L
T
(3.76)
yoki yoyilgan yozuvda
)
(
~
~
,
)
(
~
,
...
),
(
~
),
(
~
1
1
2
1
2
1
1
t
f
z
t
f
z
dt
dz
t
f
z
dt
dz
t
f
dt
dz
(3.77)
(3.77) ning birinchisidan boshqa barcha tenglamalaridan bir qiymatli
ravishda
1
,
.
.
.
,
,
1
z
z
z
larni aniqlaymiz:
1
1
1
1
1
1
1
1
.
.
.
~
~
,
.
.
.
,
~
~
,
~
3
2
1
dt
f
d
dt
f
d
f
z
dt
f
d
f
z
t
f
z
(3.78)
1
z
uchun hosil qilingan ifodani birinchi tenglamaga qo`yib , birgalashganlik
shartini hosil qilamiz:
87
0
~
1
.
.
.
~
~
~
1
2
3
2
2
1
dt
f
d
dt
f
d
dt
f
d
f
(3.79)
4. (3.68) sistema quyidagi ko`rinishdagi sistemani ifodalaymiz:
f
z
dt
d
N
u
~
(3.80)
yoki yoyilgan yozuvda
.
~
,
~
,
.
.
.
,
~
,
~
1
1
2
2
3
1
1
2
u
u
u
u
u
f
z
f
z
dt
dz
f
z
dt
dz
f
z
dt
dz
(3.81)
Bundan yechimlarni ketma-ket bir qiymatli aniqlaymiz:
1
1
1
2
2
2
2
1
1
1
1
~
1
.
.
.
~
~
~
,
.
.
.
,
~
~
,
~
u
u
u
u
u
u
u
u
u
dt
f
d
dt
f
d
dt
f
d
f
z
dt
f
d
f
z
f
z
(3.82)
5. (3.69) sistema quydagi sistemani ifodalaydi:
f
dt
dz
J
z
~
Bunday sistemaning umumiy yechimi quydagicha bo`ladi:
d
f
e
e
z
t
t
J
t
J
0
0
(3.84)
bu yerda
0
z
- ixtiyoriy elementli ustun bo`lib , noma`lum funktsiyani
0
t
dagi boshlangich qiymati bo`ladi.
(3.61) sistemadan (3.59) sistemaga teskari o`tish (3.60) va (3.62)
fo`rmulalar bilan amalga ohiriladi Bunda har bir
n
x
x
x
,
.
.
.
,
,
2
1
funksiyalar
n
z
z
z
,
.
.
.
,
,
2
1
funksiyalarning chiziqli kombinatsiyasidan iborat bo`lib , har bir
t
f
t
f
m
~
,
.
.
.
,
~
1
funkiyalar
t
f
t
f
m
,
.
.
.
,
1
funksiyalar orqali (o`zgarmas
koeffitsientlar bilan )chiziqli ifodalanadi.
O`tkazilgan taxlil ko`rsatadiki , (3.58) sistema birgalashgan bo`lishi
uchun , umumiy holda , tenglamalarning o`ng tomonlari o`rtasida ba`zi
aniq chiziqli chekli va diferensial bog’lanishlar bajarilishi shart .
Agar bu shartlar bajarilsa , u holda sistemaning umumiy yechimi
chiziqli ihtiyoriy o`zgarmaslar kabi ihtiyoriy funksiyalarni o`zida
saqlaydi .
88
Birlashganlik sharti xarakteri va yechimlari xarakteri (xususiy holda
ihtiyoriy o`zgarmaslar va ihtiyoriy funksiyalar soni )
B
A
dastaning
minimal indekslari va elementar bo`luvchilari bilan aniqlanadi ,chunki
(3.65) –(3.69) differensial tenglamalar sistemalarining kanonik formasi bu
indekskar va bo`luvchilarga bog`liq.
Dostları ilə paylaş: |