Mashqlar:
1. Quyidagi matritsalar bilan berilgan
𝐴 + 𝜆𝐵
dastalarni regulyar yoki
singulyar ekanligini aniqlang.
a)
𝐴 = (
1
2
0
0
2
0
−2 −2 −1
)
В=
(
−2
8
6
−4 10
6
4
−8 −4
)
b)
𝐴 = (
3
0
8
3
−1
6
−2
0
−5
)
В=
(
13
16
16
−5 −7 −6
−6 −8 −7
)
c)
А = (
−4 2 10
−4 3
7
−3 1
7
)
В=
(
7
−12 −2
3
−4
0
−2
0
−2
)
d)
А = (
4
6
0
−3 −5 0
−3 −6 1
)
В=
(
0
3
3
−1
8
6
2
−14 −10
)
e)
А = (
9
22 −6
−1 −4
1
8
16 −5
)
В=
(
8
30
−14
−5 −19
9
−6 −23
11
)
f)
А = (
4
5
−2
−2 −2
1
−1 −1
1
)
В=
(
−1
1
1
−5
21
17
6
−26 −21
)
g)
А = (
1 −1 2
3 −3 6
2 −2 4
)
В=
(
3
7
−3
−2
−5
2
−4 −10
3
)
2. Yuqorida xosil qilingan dastalarni kanonik ko’rinishga keltiring va ularni
minimal indiksini aniqlang.
89
IV BOB MANFIYMAS ELEMENTLI MATRITSALAR
Ushbu bobda manfiymas elementli haqiqiy matritsalarning xossalari
o’rganiladi. Bunday matritsalar extimollar nazariyasidagi Markov zanjirlarini
o’rganishda va sistemalar kichik tebranishlar nazariyasida keng qo’llaniladi.
§1. Umumiy xossa
Ta’rif 4.1
: haqiqiy elementli to’g’ri to’rtburchakli
n
k
m
i
a
A
ik
,...,
2
,
1
;
,...,
2
,
1
,
matritsa manfiymas (
0
A
) yoki musbat
0
A
deyiladi, agarda uning barcha
elementlari manfiymas
)
0
(
ik
a
yoki musbat
)
0
(
ik
a
bo’lsa.
Ta’rif 4.2:
n
k
i
ik
a
A
1
,
kvadrat matritsa yoyiluvchi deyiladi, agarda
barcha 1,2,…,n indekslarni qandaydir ikkita qo’shimcha sistemaga
m
i
i
i
,...
,
2
1
va
)
(
,...
,
2
1
n
y
m
k
k
k
y
bo’linishida, umumiy indekslardan boshqa holda
)
,...
2
,
1
;
,..,
2
,
1
(
0
y
m
a
k
i
bo’lsa.
Aks holda A matritsa yoyilmaydigan matritsa deyiladi. A kvadrat matritsa
qatorlarini o’rinalmashtirish deganda satrlarni o’rin almashtirish bilan birga A
matritsa ustunlarini ham huddi shunday o’rin almashtirishni tushunamiz.
Yoyiluvchi va yoyilmaydigan matritsalar ta’rifini quyidagicha ifodalash
ham mumkin.
Ta’rif 4
.
2
:
n
k
i
ik
a
A
1
,
matritsa yoyiluvchi deyiladi, agarda uni
qatorlarining o’rinlarini almashtirib, quyidagi ko’rinishga keltirish mumkin
bo’lsa;
D
B
A
0
0
~
,
bu yerda B va D kvadrat matritsalar. Aks holda A matritsa yoyilmaydigan
deyiladi.
90
A – n o’lchovli kvadrat matritsa
n
e
e
e
,...,
,
2
1
bazisli n-o’lchovli
n
R
fazodagi
A
chiziqli operatorga mos kelsin. Matritsada qatorlarni o’rin almashtirish bazis
vektorlarni qayta nomerlashga mos keladi, ya’ni
n
e
e
e
,...,
,
2
1
ba’zisdan yangi
n
j
n
j
j
e
e
e
e
e
e
,...,
,
2
2
1
1
bazisga o’tish mos keladi, bu yerda
n
j
j
j
,...
,
2
1
indekslarni qandaydir o’rin almashtirish, bunda A matritsa unga o’xshash
bo’lgan
AT
T
A
1
~
matritsaga o’tadi. (T-almashtiruvchi matritsaning har bir satr
va ustunining bitta elementi birga teng bo’lib, qolgan elementlari nollardan
iborat).
n
R
fazoning v- o’lchovli qism fazosi deganda
v
k
k
k
e
e
e
,...,
,
2
1
bazisli
ixtiyoriy qism fazoni tushunamiz.
v
k
k
k
...
1
2
1
T a ’ r i f 4.
2
:
n
k
i
ik
a
A
1
,
matritsa yoyiluvchi deyiladi, faqat va faqata
shu holdaki, agar bu matritsaga mos
A
operator v koordinatali qism fazoga ega bo’lsa.
Lemma 4.1
. agar
0
A
matritsa yoyilmaydigan bo’lib, n – o’lchovli
bo’lsa, u holda
0
)
(
1
n
A
E
(4.1)
I s b o t i.
Lemmani isbotlash uchun, ixtiyoriy y>0 (vector ustun) uchun
0
)
(
1
y
A
E
n
ekanligini ko’rsatish yetarli. Bu tengsizlik isbotlanadi, agarda biz
0
y
va
0
g
shartda
y
A
E
z
)
(
har doim y ga nisbatan kichik nomli koordinataga
ega ekanligini ko’rsatsak, teskarisini faraz qilamiz. U holda g va z vektorlar bir
xil nolli koordinataga ega bo’ladi. Umumiylikni buzmasdan,
,
0
u
y
0
v
z
(u>0, v>0)
bu yerda u va v ustunlar bir xil o’lchovli, deb olamiz.
22
21
12
11
A
A
A
A
A
deb olib, quyidagiga ega bo’lamiz:
91
0
u
22
21
12
11
A
A
A
A
0
u
0
v
,
bundan
0
21
u
A
bo’lib, u>0 bo’lgani uchun
0
21
A
kelib chiqadi. Bu tenglik A matritsaning
yoyiluvchi emasligiga ziddir.
A matritsaning quyidagi darajasini qaraymiz:
q
A
n
k
i
ik
a
1
,
(q=1,2…)
u holda yuqoridagi lemmadan quyidagi natija kelib chiqadi.
Natija:
Agar A>0 yoyilmaydigan matritsa bo’lsa, u holda i,k indekslar
juftligi uchun shunday
q
butun musbat son mavjudki, unda
0
q
ik
a
(4.2)
bo’ladi. Shu bilan birga q sonini har doim quyidagicha oraliqda tanlash mumkin
)
3
.
4
(
,
'
,
,
'
,
1
lsa
bo
k
i
agar
m
q
lsa
bo
k
i
agar
m
q
bu yerda m- A matritsaning
)
(
ko’phadning darajasi.
§2. Yoyilmaydigan manfiymas matritsaning spektral xossasi
Teorema 4.1.
(Perron teoremasi).
n
k
i
ik
a
A
1
,
musbat matritsa har
doim r haqiqiy va musbat harakteristik songa ega bo’lib, u harakteristik
tenglamaning oddiy ildizi bo’ladi va moduli bo’yicha barcha harakteristik
ildizlardan ortiq. Bu maksimal r harakteristik songa A matritsaning
i
z
>0, (i=1,2,
…,n) koordinatali
)
,...
,
(
2
1
n
z
z
z
z
xos vaktori mos keladi.
Musbat matritsa yoyilmaydigan manfiymas matritsaning xussiy ko’rinishi
bo’ladi. Frobenius yoyilmaydigan manfiymas matritsaning spektral xossasini
o’rganib, Perron teoremasini umumlashtirdi.
Teorema4.2. (Frobenius teoremasi)
.
Yoyilmaydigan manfiymas
n
k
i
ik
a
A
1
,
matritsa har doim mos harakteristik tenglamani oddiy ildizi bo’lgan
r musbat harakteristik songa ega. Boshqa barcha harakteristik ildizlarning
92
moduli r dan ortmaydi. R maksimal harakteristik songa musbat koordinatali z
xos vektor mos keladi.
Agar shu bilan birga A matritsa moduli r ga teng bo’lgan h ta
1
1
0
,...,
,
h
r
harakteristik sonlarga ega bo’lsa, u holda bu sonlarning hammasi
har xil bo’lib,
0
h
h
r
(4.4)
tenglamaning ildizlari bo’ladi va
-kompleks tekkislikdagi nuqtalar sistemasi
sifatida qaralayotgan,
n
k
i
ik
a
A
1
,
matritsaning
1
1
0
,...,
,
h
barcha
harakteristik sonlarning umumiy to’dasi bu tekkislikni
h
2
burchakka burganda
o’zi o’ziga o’tadi, h>1 da qatorlarni almashtirish bilan A matritsani quyidagi
siklik ko’rinishga keltirish mumkin:
𝐴 = ‖‖
0
𝐴
12
0 … 0
0
0
𝐴
22
… 0
. .
0
𝐴
ℎ1
. .
0
0
. .
0
0
. .
…
…
. .
𝐴
ℎ−1,ℎ
0
‖
‖
(4.5)
bu yerda dioganal bo’ylab kvadrat matritsalar joylashgan.
Perron teoremasi Frobenius teoremasining xususiy holi bo’lgani uchun,
biz Frobenius teoremasini isbotlaymiz. Avval nisbatan ba’zi belgilashlarni
kelishib olamiz, faqat va faqat
)
,..,
2
,
1
;
,...
2
,
1
(
n
k
m
i
d
c
ik
ik
(4.6)
holdagina quyidagi tengsizlikni yozamiz
D
C
yoki
C
D
bu yerda C va D lar bir xil
n
m
o’lchovli, to’g’ri to’rtburchakli matritsalar
bo’lib,
,
,
ik
ik
d
D
c
C
(i=1,2,…m; k=1,2,..,n).
93
Agar (4.6) tengsizliklarda tenglik belgisini tashlab yuborsak, u holda
quyidagini yozamiz:
D
C
yoki
C
D
Xususiy holda,
)
0
(
0
C
C
C matritsaning barcha elementlari
manfiymas (mos ravishda musbat) ekanligini bildiradi.
Bundan tashqari,
C
bilan modC, ya’ni C matritsa barcha elementlarini
ularning modullari bilan almashtirib hosil qilingan matritsani belgilaymiz.
Dostları ilə paylaş: |