O`zbekiston respublikasi oliy va o`rta maxsus ta`lim vazirligi andijon davlat universiteti

1.Vertikal 
va 
gorizantal 
simmetriya 
o’qlarga 
nisbatan 
dekompazitsiya qilish.
 Bu xolda (8.8) sistema n=2k da,   
                             
,
,
0
1
0
1
1
1
z
A
y
B
z
z
B
y
A
y






                                                         (8.12) 
ko’rinishga , n=2k+1 da esa  
                          
,
)
(
,
0
1
1
0
2
0
1
0
1
1
1
,
1
1
1
1
1
2
1
z
A
x
a
y
B
z
z
a
x
a
y
a
x
z
B
x
а
y
A
y
k
T
k
k
k
T
k
k


















                                    (8.13) 
ko’rinishga keladi. Bu yerda erkin qism sistemalar 
                                                 
,
1
y
A
y


                                                          (8.14) 
                                                
,
0
1
z
A
z


                                                         (8.15) 
                                                
.
1
1
,
1
1





k
k
k
k
x
a
x

                                               (8.16)          
ko’rinishlarda bo’lib, 
1
1
,
B
A
- k-tartibli kvadrat matritsalar, 
0
1
0
1
,
B
A
 -mos ravishda 
ularni markazga nisbatan  transponirlangani,  vektorlar esa  
,
)
,...,
,
(
,
)
,...,
,
(
,
1
3
,
1
2
,
1
2
,
1
2
,
1
1
,
1
1
T
n
k
k
k
k
k
T
k
k
k
k
a
a
a
a
a
a
a
a










 
.
)
,
,
(
,
)
,...,
,
(
,
)
,...,
,
(
1
3
2
2
1
T
T
k
T
T
n
k
k
T
k
z
x
y
x
x
x
x
z
x
x
x
y






 

---

 
222 
ko’rinishda  aniqlangan. 
 
(8.8)  sistema  muvozanat  xolati  turg’unligining  yetarli  shartlarini  xosil 
qilish uchun, (8.12) sistema va (8.14), (8.15) qism sistemalarga  mos Lyapunov 
matritsa funktsiyasi quyidagi ko’rinishda tanlanadi:  
21
12
22
21
12
11
1
,
)
(
)
,
(
)
,
(
)
(
)
,
(
v
v
z
v
z
y
v
z
y
v
y
v
z
y
U








 ,    
 
(8.17) 
bu yerda     
,
)
,
(
)
,
(
,
)
(
,
)
(
2
21
12
0
1
22
1
11
z
P
y
z
y
v
z
y
v
z
P
z
z
v
y
P
y
y
v
T
T
T




  
0
1
1
,
P
P
- bosh 
dioganalga  nisbatan  simmetrik  bo’lgan  musbat  aniqlangan  matritsalar, 
2
P
- 
o’zgarmas matritsa bo’lib, bularning barchasi   k-tartibli matritsalardir.  
(8.13)sistema va (8.14), (8.15), (8.16) qism sistemalarga mos Lyapunov 
matritsa funktsiyasi esa, quyidagicha tanlanadi. 
ji
ij
ij
k
v
v
j
i
v
z
x
y
U







,
3
,
2
,
1
,
),
(
)
,
,
(
1
2
            
(8.18) 
bu yerda   
,
,
,
),
,
(
,
),
(
1
23
23
2
1
22
22
12
21
12
13
1
12
12
11
11
z
x
v
x
v
v
v
z
y
v
v
y
x
v
y
v
v
k
k
k



















 
23
32
13
31
22
33
,
),
(
v
v
v
v
z
v
v








  ,
2
0
1
1
,
,
P
P
P
-matritsalar (8.17) dagidek aniqlanadi, 
23
12
22
,
,
0




-lar xaqiqiy sonlar  
2.O’zaro muvozanatlashuvchi qism sistemalarga nisbatan 
dekompazitsiya qilish.
 Bu xolda (8.8) sistema n=2k da  







k
j
i
j
j
ij
i
ii
i
n
k
i
y
A
y
A
y
1
2
,...,
2
,
1
,

         
 
(8.19) 
ko’rinishga,  n=2k+1 da esa,  
,
,
2
1
,...,
2
,
1
,
1
1
1
,
1
1
1
1


















k
i
i
i
k
k
k
k
k
j
i
j
k
i
j
ij
i
ii
i
y
a
x
a
x
n
k
i
x
a
y
A
y
A
y


           (8.20) 
ko’rinishga keladi. Bu yerda  
                         
,
,
1
,
1
,
1
,
1
,


























ij
j
n
i
j
n
i
ij
ij
ii
i
n
i
i
n
i
ii
ii
a
a
a
a
A
a
a
a
a
A
 

---

 
223 
,
,
,...,
2
,
1
,
,
)
,...,
,
(
,
)
,
(
,
)
,
(
,
)
,
(
2
1
1
,
1
,
1
1
,
1
,
j
i
k
j
i
y
y
y
y
x
x
y
a
a
a
a
a
a
T
T
k
T
T
T
i
n
i
i
T
j
k
j
k
j
T
k
i
k
i
i












 
bo’lib, 
ii
A
 va 
ij
A
 lar matritsa markaziga nisbatan simmetrik bo’lgan 
matritsalardir. Bu xolda i- erkin qism sistemalar  
i
ii
i
y
A
y


                          
 
(8.21) 
ko’rinishda bo’lib, ularning muvozanat xolati turg’unligini yetarli shartlari  
                              
k
i
a
a
a
i
n
i
ii
ii
,...,
2
,
1
,
,
0
1
,





                            
      (8.22) 
shartlardan,   
1
1
,
1
1





k
k
k
k
x
a
x

                
 
(8.23) 
qism sistema uchun  muvozanat xolat turg’unligining yetarli sharti  
0
1
,
1



k
k
a
.     
 
 
 
(8.24) 
dan iborat bo’ladi. (8.19) va (8.20) sistemalar, hamda (8.21), (8.23) qism 
sistemalar uchun yuqoridagi kabi Lyapunov matritsa funktsiyalarini tuzish 
mumkin.    
 
§3. Lyapunov matritsa funktsiyasi usuli. 
 
Lyapunovning  matritsa  funktsiyasi  usuli  Y.M.S.  lar  turg’unligi  masalasi 
bilan shug’ulanuvchi mutaxassislar tomonidan yaratilgan bo’lib, uning moxiyati 
quyidagicha: Avval (8.4) qism sistemalarning har biri uchun  
𝑣
𝑖𝑖
(𝑡, 𝑥
𝑖
),
   
i=1,2,…,s  Lyapunov  funktsiyalari  tuzilib, 
(𝑆
𝑖
)
  va 
(𝑆
𝑗
)
  qism 
sistemalar orasidagi ta’sirlarni ifodalovchi bog’lanishlarga mos  
𝑣
𝑖𝑗
(𝑡, 𝑥
𝑖
, 𝑥
𝑗
) = 𝑣
𝑗𝑖
(𝑡, 𝑥
𝑖
, 𝑥
𝑗
),
     i,j=1,2,…,s 
funktsiyalar shunday tanlanadiki, unda  
𝑈(𝑡, 𝑥) = (
    𝑣
11
(𝑡, 𝑥
1
)              𝑣
12
(𝑡, 𝑥
1
, 𝑥
2
)    …      𝑣
1𝑠
(𝑡, 𝑥
1
, 𝑥
𝑠
)
𝑣
12
(𝑡, 𝑥
1
, 𝑥
2
)        𝑣
22
(𝑡, 𝑥
2
)    …           𝑣
2𝑠
(𝑡, 𝑥
2
, 𝑥
𝑠
)
… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …
𝑣
1𝑠
(𝑡, 𝑥
1
, 𝑠
2
)            𝑣
1𝑠
(𝑡, 𝑥
2
, 𝑥
𝑠
)       …     𝑣
𝑠𝑠
(𝑡, 𝑥
𝑠
)
)
          (8.25) 
 

---

 
224 
matritsa  funktsiya  musbat  aniqlangan  bo’lsin.  So’ngra  (8.6)  sistema  uchun 
Lyapunov  funktsiyasi  (8.25)  matritsa  funktsiya  va   
𝜂 = (𝜂
1
, 𝜂
2
, … , 𝜂
𝑠
)
𝑇
 
o’zgarmas vektor yordamida quyidagicha tuziladi: 
                          
V(t, x) = η
T
U(t, x)η                                                                    (8.26)  
 
(8.25)  matritsa  funktsiyaning  musbat  aniqlanganlik  shartlaridan 
foydalanib, (8.26) skalyar funktsiyaning musbat aniqlanganlik shartini quyidagi 
ko’rinishda aniqlaymiz: 
               
V(t, x) ≥ ψ
𝑇
(x)H
T
BHψ(x)
,                                                 (8.27) 
bu yerda 
ψ
𝑇
(x) = (|𝜓
1
(𝑥)|, |𝜓
2
(𝑥)|, … , |𝜓
𝑠
(𝑥)|)
,   
𝐻 = 𝐻
𝑇
= 𝑑𝑖𝑎𝑔(𝜂
1
, 𝜂
2
, … , 𝜂
𝑠
)
, 
 B-  o’zgarmas  matritsa  bo’lib,  uning  elementlari  (8.25)  matritsa  funktsiya 
elementlarini  quyidan  baxolashda  xosil  bo’ladigan  o’zgarmaslarning  algebraik 
yig’indisidan ibarat bo’ladi. (8.27) tengsizlikdan ko’rinadiki, agar V o’zgarmas 
matritsa  musbat  aniqlangan  bo’lsa,  (8.26)  funktsiya  ham  musbat  aniqlangan 
bo’ladi. 
 
(8.26)  funktsiyadan  (8.6)  sistema  yordamida  olingan  to’la  xosilani 
yuqoridan baxolab, quyidagi tengsizlikka kelamiz.
 
                                     
𝑉̇(t, x) ≤ ψ
𝑇
(x)Gψ(x)
 ,                                                (8.28) 
bu  yerda  G  o’zgarmas  matritsa  bo’lib,  uning  elementlari  (8.25)  matritsa 
funktsiya  elemenlaridan  (8.4)  qism  sistemalar  va  (8.6)  sistema  yordamida 
olingan xosilalarni yuqoridan baxolash natijasida xosil bo’ladigan o’zgarmaslar 
va 
𝜂
𝑖
,  i=1,2,…,s  lar  ishtirokida  tuzilgan  ifodalardan  iborat  bo’ladi.  (8.28)  dan 
ko’rinadiki,   
𝑉̇(t, x)
  manfiy  (yarim  manfiy)  aniqlangan  bo’lishi  uchun  G- 
o’zgarmas matritsani manfiy (yarim manfiy) aniqlangan bo’lishi yetarlidir. 
 
 (8.27)  va  (8.28)  tengsizliklardan  foydalanib,  (8.1)  yoki  (8.6)  sistema 
muvozanat  xolati  asimptotik  turg’unligi  (turg’unligi)ning  yetarli  shartlarini 
quyidagicha ifodalaymiz. 
 
Teorema  8.1.   
(8.1)  tenglama  bilan  ifodalangan  (S)  Y.M.S.    (8.6) 
ko’rinishda  dekompozitsiya  qilingan  bo’lib,  uning  uchun  (8.25)  matritsa-
funktsiya tuzilgan bo’lsin. 

---

 
225 
 
Agar  V  matritsa  musbat  aniqlangan  bo’lib,  G  matritsa  yarim  manfiy 
(manfiy)  aniqlangan  bo’lsa,  (8.1)  sistema  muvozanat  xolati  x=0  turg’un 
(asimptotik turg’un) bo’ladi.  
 
Eslatma:  A  muammoni  xal  etishda  (8.25)  matritsa  funktsiya  bosh 
dioganalidagi   
𝑣
𝑖𝑖
(𝑡, 𝑥
𝑖
), i = 1,2, … , s 
  elementlardan  (8.4)  qism  sistemalar 
bo’yicha olingan xosilalar aloxida baxolanishi shart, chunki bu baxo yordamida 
 (𝑆̂
𝑖
)
,  i=1,2,…,s  erkin  qism  sistemalarning  turg’unligi  masalasi  xal  etiladi.  V 
muammoni xal etishda esa bunday baxolash shart emas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

---

 
226 
Adabiyotlar. 
1.
 
Белман Р. В. Ведение теории матриц. – M. , Наука, 1976.
 
2.
 
Гельфонт И. М. Чизиыли алгебрадан лекциялар. -T. Олий ва щрта 
мактаб. 1964 
 
3.
 
Гантмахер Р. Теории матриц. − M.: Наука, 1967. − 576 с. 
4.
 
Груйич Л.Т., Мартинюк А.А., Риббенс – Павелла M. Устойчивость 
крупномасштабных  систем  при  структурных  и  сингулярных 
возмущениях. − Киев.: Наука. думка, 1984. − 307 с. 
5.  Демидович Б.П. Лекции по математическое теории устойчивости. –
M.: Наука, 1967. − 472 с. 
6.  Iskandarov  D.,    Mullajonova  J.  Kvadratik  formalarning  ishoralari. 
Respublika  ilmiy-amaliy  anjumani  materiallari.  –  Andijon  2011.  67-68 
betlar.  
7. Kурош А. Г. Олий алгебра курси. Т. «Ўқитувчи» 1976  
8. Кострикин А.И., Сборнык задач по алгебре. М., «Наука», 1986   
9. Ланкастер П. Теория  матриц. – М.: Наука, 1982. −277с.
 
10.Миладжанов  В.  Г.,  Муллажонов  Р.В.  Об  одном  методе  анализа 
устойчивости  линейных  крупномасштабных  систем.  //  Узбекский 
журнал  Проблемы механики. − Ташкент, 2009. − № 2-3. −С. 28-30. 
11.Миладжонов  В.Г.,  Муллажонов  Р.И.,  Абдугаппорова  СH.Н., 
Транспонирланган  ва  симметрик  матрицалар.  –Андижон,  илмий 
хабарнома 2009-№1  
12.Муллажонов  Р.В.  Обобщенное  транспонирование  матриц  и 
структуры  линейных  крупномасштабных  систем  //  Украинский 
журнал «Доп.НАН Украини». −Киев, 2009. - №11.С. 27 −35.     
13.Муллажонов 
Р.В. 
 
Анализ 
устойчивости 
линейных 
крупномасштабных  систем.    //  Проблема  механики.  −  Ташкент, 
2010. −№2.−С. 4− 7.   
14.Хожиев Ж.Х., Файнлейб А.С.  Алгебра ва сонлар назарияси курси. 
Т. “Ўзбекистон”  2001. 

---

 
227 
MUNDARIJA 
 SO’Z BOSHI…………………………………………………………………………….……3  
I-BOB.  MATRITSALAR   ALGEBRASI........................................................6 
§1. Matritsalar va ular ustida amallar………………………………………..6 
§ 2. Umumlashgan transponirlangan matritsalar……………………..…....14 
§ 3. Simmetrik matritsalar…………………………………………….…..…21 
§ 4.  

- matritsalar. Elementar bo‘luvchilar……………………………..….26  
§ 5.  Jordon kataklari………………………………………………..….…….29 
§ 6.  Asosiy teoremalar………………………………………………..………35 
II-BOB. 
KOMPLEKS   SIMMETRIK, KOSOSIMMETRIK VA 
ORTOGONAL  MATRITSALAR...................................................................39 
§1. Kompleks  ortaganal   va   unitar  matritsyalar                                                                                                     
uchun  ba`zi  formulalar.............................................................................39 
§
2. Kompleks  matritsalarni  qutub yoyilmasi................................................43
 
§3. Ko`mpleks  simmetrik  matritsalarning  normal  ko`rinishi…………...46
 
§
4. Kompleks  kososimmetkir  matritsaning   normal   ko`rinishi………...49
 
§5. Kompleks  ortogonal   matritsaning  normal  ko`rinishi……………….55 
III-BOB
.
MATRITSALARNING   SINGULYAR   DASTASI………….…61 
§1. Masalani  qo`yilishi……………………………………………………….61
 
§2. Matritsalarning  regulyar  dastasi.............................................................62  
§3. Singulyar  dastalar. Keltirish  xaqida  teorema........................................66
 
§
4. Matritsalar  singulyar  dastasining  kanonik  formasi.............................72
 
§5. Dastaning  minimal  indeksi……………………………………………...75
 
§6. Kvadratik formalarining singulyar  dastasi.............................................79
 
§7. Differentsial tenglamalarga tadbiqlar…………………………………..84 
IV BOB. MANFIYMAS  ELEMENTLI  MATRITSALAR…………….….89 
§1. Umumiy xossa……………………………………………………………..89 
§2. Yoyilmaydigan manfiymas matritsaning  spektral xossasi ……………91 
§3. Yoyiluvchi matritsa...................................................................................101 
§4
. 
Yoyiluvchi matritsaning normal formasi................................................106 

---

 
228 
§5.
 
Primitiv va imirimitiv matritsalar...........................................................109 
§6. To’la manfiymas matritsalar……………………………………………113 
V-BOB.  XOS   QIYMATLARNI   REGULYARLIGI   VA 
 LOKALLIGINING   HAR- XIL  KRITERIYALARI……………………117 
§1.  Adamarning regulyarlik kriteryasi va uning umumlashgani………..117 
§2. Matritsa normasi………………………………………………………...121 
§3. 
Adamar kriteriyasini  blok matritsalarga kengaytirish………………124 
§
4.  Fidlerning regulyarlik kriteryasi............................................................126 
§5. Gershgoran doirasi  va boshqa lokallashtirish sohalari........................127 
VI-BOB. MATRITSALI   TENGLAMALAR........................ .....................134 
§1. 
XB
AX

  tenglama.....................................................................................134 
§ 2.
 bo’lgan hususiy hol. O’rin almashinuvchi matritsalar................138 
§ 3.
 tenglama..................................................................................142
 
§4.
 skalyar tenglama...........................................................................143 
§5. Matritsali ko’phadli tenglamalar.............................................................145 
§6. Hosmas matritsadan  -darajali ildiz chiqarish....................................148
 
§7. Xos matritsadan  -darajali ildiz chiqarish...........................................152 
§8.Matritsa logarifmi......................................................................................158 
VII.  BOB. KVADRATIK  FORMALAR  VA ULARNING  
 TADBIQLARI................................................................................................162 
§1. Kvadratik formalarda o’zgaruvchilarni almashtirish………………...162 
§2. Inertsiya  qonuni…………………………………………………………164 
§3. Lagranj metodi……………………………………………..……………167 
§4. Yakobi  formulasi……………………………………………….……….169 
§5. Kvadratik formalarning ishoralari……………………………………..172 
§6. Kvadratik formalarni bosh o’qlarga keltirish…………………………176 
§7. Kvadratik formalar dastasi……………………………………………..177 
§8. Formalar regulyar dastasi harakteristik sonlarining  
ekstremal xossasi…………………………………………………………….183 
§9.Kvadratik formalar ustida amallar……………………………………..193 
B
A

C
xB
Ax


 
0

x
f
m
m

---

 
229 
§10.n-o’zgaruvchili kvadratik formalarni ikki o’zgaruvchili kvadratik 
formalar yig’indisi shaklida yozish…………………………………………196 
§11.Erkinlik darajasi   bo’lgan sistemalarning  kichik tebranishlari…...199 
§12.Chiziqli yirik masshtabli sistemalar turg’unligi masalasiga bog’liq 
bo’lgan ba’zi teoremalar…………………………………………………….204 
§13. Dempfirlanishi va bikirligi oshkor xolatda vaqtga bog’liq bo’lib, 
chiziqsiz bo’lgan sistema asimptotik turg’unligining yetarli shartlari…...212 
 VIII BOB. YIRIK   MASSHTABLI  SISTEMALAR   
TURG’UNLIGINING UMUMIY MASALASI……………………………217 
§1. Masalaning qo’yilishi……………………………………………………217 
§2. Yirik masshtabli sistemalarning dekompozitsiyasi……………………219 
§3. Lyapunov matritsa funktsiyasi usuli.……………………………..……223 
ADABIYOTLAR…………………………………………………………….226 
n