O`zbekiston respublikasi oliy va o`rta maxsus ta`lim vazirligi andijon davlat universiteti

§13. Dempfirlanishi va bikirligi oshkor xolatda vaqtga  
bog’liq bo’lib, chiziqsiz bo’lgan sistema asimptotik turg’unligining 
yetarli shartlari  
 
 Dempfirlanishi  va  bikirligi  oshkor  xolatda  vaqtga  bog’liq  bo’lib, 
chiziqsiz  bo’lgan  sistema  toyigan  xarakat  tenglamasini  quyidagi  ko’rinishda 
qaraymiz:   
              
0
)
,
,
(
)
,
,
(



x
x
x
t
x
x
x
t
x







,    
             
             (7.126) 
bu yerda 

 va 

 lar 
x
x
t

,
,
 xaqiqiy o’zgaruvchilarni    
                          




2
2
0
,
x
x
t
t

    
    
            
               (7.127) 
soxada aniqlangan haqiqiy funktsiyalari (

,
0
t
- musbat o’zgarmaslar).  
 

  va 

  koefitsientlar  o’zgarmas    bo’lib,  musbat  bo’lganda 
0
,
0


x
x

 
toyimagan  xarakat  asimptotik  turg’un  bo’ladi.  Agar  bu  koeffitsientlar  musbat 
xolatda qolib, o’zgaruvchi bo’lsa, u xolda ularni o’zgarish rejimi mavjudki unda 
xarakat  turg’unmas  bo’lib  qoladi. 

  va 

  koeffitsientlarni    o’zgarish  qonuni 
ma’lum  bo’lsa,  turg’unlik  masalasini  qarab  chiqish  mumkin.    Ba’zi  amaliy 
tadbiqlarda 

  va 

  koeffitsientlarni  xarakterlari  ma’lum  bo’lmay,  ularni 

---

 
213 
o’zgarish  chegaralarigina  ma’lum  bo’ladi  ya’ni  (7.127)  soxada  bu  funktsiyalar 
quyidagi shartlarni qanoatlantiradi:  
,
)
,
,
(
,
)
,
,
(
2
1
2
1
b
x
x
t
b
a
x
x
t
a








    
 
(7.128) 
bu yerda, 
2
1
2
1
,
,
,
b
b
a
a
 - berilgan musbat sonlar   
 
Bu  ko’rsatilgan  chegaralarda 

  va 

  ixtiyoriy  qonun  bo’yicha 
o’zgarganda,     
0
,
0


x
x

  toyimagan  xarakat  asimptotik  turg’un  bo’ladigan 
yetarli shartlarni xosil qilish katta qiziqish uyg’otadi.  
 
Qo’yilgan masalani qarab chiqish uchun  
2
1
,
x
x
x
x



 
o’zgaruvchi  almashtirib,  (7.126)  tenglamani  quyidagi  sistema  bilan 
almashtiramiz: 
2
1
2
2
1
)
,
,
(
)
,
,
(
x
x
x
t
x
x
x
t
x
x
x










 
yoki matritsa ko’rinishida  
,
)
,
(
y
y
t
A
y


 
 
 
 
 
(7.129) 
bu yerda   
,
)
,
(
2
1
T
x
x
y

 









)
,
(
)
,
(
1
0
)
,
(
y
t
y
t
y
t
A


 
 
Qat’iylik tartibi mos ravishda 
1

  va 
2

  bo’lgan 
)
,
(
1
y
t

  va   
)
,
(
2
y
t

 
qat’iy musbat funktsiyalarni quyidagicha kiritamiz   
)
,
(
)
,
(
),
,
(
)
,
(
2
2
1
1
y
t
m
y
t
y
t
m
y
t








 
 
(7.130) 
Tekshirib  ko’rish  mumkinki  (7.128)  tengsizlik  bajarilganda 
)
,
(
1
y
t

va 
)
,
(
2
y
t

 
funktsiyalar uchun quyidagi baxolar o’rinli:  
1
2
2
2
2
1
1
1
2
1
)
,
(
,
)
,
(
b
m
y
t
b
m
a
m
y
t
a
m










   
(7.131)  
bundan, 
2
2
2
1
2
1
,






b
m
a
m
ekanligi  kelib  chiqadi.  SHuning  uchun  (7.131) 
ni quyidagicha yozish mumkin. 
1
1
2
2
2
1
1
2
1
1
)
,
(
,
)
,
(














b
b
y
t
a
a
y
t
 
 
(7.130) yordamida (7.129) ni quyidagi ko’rinishga keltiramiz  
y
A
y
t
y
A
y
t
y
A
y
2
2
1
1
0
)
,
(
)
,
(






,  
 
 
 
(7.132) 

---

 
214 
bu yerda   
,
1
0
0
0
,
0
1
0
0
,
1
0
2
1
2
1
0























A
A
m
m
A
 
 
(7.132)  sistema  uchun  Lyapunov  funktsiyasini  quyidagi  kvadratik  forma 
ko’rinishida quramiz: 
Py
y
y
V
T

)
(
  
 
 
 
(7.133)  
bu yerda  















2
1
2
1
1
1
1
1
)
1
(
m
m
m
m
m
P
 
bu kvadratik forma musbat aniqlangan bo’ladi. 
 
(7.133)  funktsiyadan  (7.132)  sistema  yordamida  olingan  xosila  uchun 
quyidagi xosil qilamiz: 
,
)
)
,
(
)
,
(
(
)
(
2
2
1
1
0
y
G
y
t
G
y
t
G
y
y
P
y
Py
y
y
V
T
T
T










 
bu yerda  









1
1
0
2
0
0
2
m
m
G
,   















0
1
1
2
2
1
2
1
1
m
m
m
m
G
,    












2
1
2
1
2
1
1
0
m
m
G
 
va  
,
))
(
)
(
)
(
)
(
)
(
(
)
(
2
2
1
2
1
1
1
2
0
T
M
M
M
y
G
b
b
G
a
a
G
y
V













  
(7.134) 
bu yerda        
.
1
1
1
)
(
,
1
1
1
)
(
,
2
)
(
2
2
1
2
1
2
2
2
1
1
1
0























m
m
m
m
G
m
m
G
m
G
M
M
M



 
 
(7.134)  baxodan  ko’rinadiki, 
)
(
y
V

  funktsiya  quyidagi  shart  bajarilganda 
manfiy aniqlangan bo’ladi.  
,
0
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
2
2
1
2
1
1
1
2
0







G
b
b
G
a
a
G
M
M
M





  
(7.135)   
 
Bundan kelib chiqadiki, Lyapunovning asimptotik turg’unlik teoremasiga 
asosan  (7.132)  yoki  (7.126)  sistema  toyimagan  xarakati  (7.135)  shart 
bajarilganda asimptotik turg’un bo’ladi. 
 
k
m
m


2
1
1
  bo’lsin, u xolda (7.135) quyidagi ko’rinishda bo’ladi: 
0
)
1
)(
(
)
1
1
)(
(
2
2
1
2
2
1
1
1










k
k
b
m
k
a
m
m
, 

---

 
215 
yoki 
1
1
)
(
1
1
2
1
1
2
1







k
b
a
k
b
a
m
m
. 
Bu tengsizlik 
0
1
1
1



k
b
a
 shartda ma’noga ega bo’ladi.  
Bu tengsizlikdan  
0
,
0
2
1




  va  
2
2
1
2
1






b
a
k
  ni e’tiborga olib,   
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
)
1
(
)
1
(
1
1
,
1
1
b
a
b
b
b
k
b
a
m
m
k











 


2
1
1
2
2
2
2
2
1
2
1
2
)
1
(
)
1
(
)
1
(
1
b
a
b
a
a
b
b
b
a
a









   
 
(7.136) 
0
)
1
(
)
1
(
2
1
1
2




b
a
b
a
    
 
 
(7.137) 
larni  xosil  qilamiz.Shunday  qilib, 
)
,
,
(
x
x
t


  va 
)
,
,
(
x
x
t


funktsiyalarning 
2
1
2
1
,
,
,
b
b
a
a
  chegaralari  (7.136)  va  (7.137)  shartlarni  qanoatlantirsa,  u  xolda 
toyimagan xarakat  
0

x
, 
0

x

 asimptotik turg’un bo’ladi. 
Mashqlar. 
1.
 
Quyidagi kvadratik formalarni kanonik ko’rinishga keltiring: 
a)
 
 
2𝑥
1
2
+ 𝑥
2
2
− 4𝑥
1
𝑥
2
− 4𝑥
2
𝑥
3
 
b)
 
𝑥
1
2
+ 2𝑥
2
2
+ 3𝑥
3
2
− 4𝑥
1
𝑥
2
− 4𝑥
2
𝑥
3
 
c)
 
3𝑥
1
2
+ 4𝑥
2
2
+ 5𝑥
3
2
+ 4𝑥
1
𝑥
2
− 4𝑥
2
𝑥
3
 
d)
 
2𝑥
1
2
+ 5𝑥
2
2
+ 5𝑥
3
2
+ 4𝑥
1
𝑥
2
− 4𝑥
1
𝑥
3
− 8𝑥
2
𝑥
3
 
e)
 
𝑥
1
2
− 2𝑥
2
2
− 2𝑥
3
2
− 4𝑥
1
𝑥
2
+ 4𝑥
1
𝑥
3
+ 8𝑥
2
𝑥
3
 
f)
 
5𝑥
1
2
+ 6𝑥
2
2
+ 4𝑥
3
2
− 4𝑥
1
𝑥
2
− 4𝑥
1
𝑥
3
 
g)
 
3𝑥
1
2
+ 6𝑥
2
2
+ 3𝑥
3
2
− 4𝑥
1
𝑥
2
− 8𝑥
1
𝑥
3
− 4𝑥
2
𝑥
3
 
h)
 
7𝑥
1
2
+ 5𝑥
2
2
+ 3𝑥
3
2
− 8𝑥
1
𝑥
2
+ 8𝑥
2
𝑥
3
 
i)
 
2𝑥
1
2
+ 2𝑥
2
2
+ 2𝑥
3
2
+ 2𝑥
4
2
− 4𝑥
1
𝑥
2
+ 2𝑥
1
𝑥
4
+ 2𝑥
2
𝑥
3
−
4𝑥
3
𝑥
4
 
j)
 
2𝑥
1
𝑥
2
+ 2𝑥
3
𝑥
4
 
k)
 
𝑥
1
2
+ 𝑥
2
2
+ 𝑥
3
2
+ 𝑥
4
2
+ 2𝑥
1
𝑥
2
− 2𝑥
1
𝑥
4
− 2𝑥
2
𝑥
3
+ 2𝑥
3
𝑥
4
 
l)
 
2𝑥
1
𝑥
2
+ 2𝑥
1
𝑥
3
− 2𝑥
1
𝑥
4
− 2𝑥
2
𝑥
3
+ 2𝑥
2
𝑥
4
+ 2𝑥
3
𝑥
4
 

---

 
216 
m)
 
𝑥
1
2
+ 𝑥
2
2
+ 𝑥
3
2
+ 𝑥
4
2
− 2𝑥
1
𝑥
2
+ 6𝑥
1
𝑥
3
− 4𝑥
1
𝑥
4
− 4𝑥
2
𝑥
3
+
6𝑥
2
𝑥
4
− 2𝑥
3
𝑥
4
 
n)
 
8𝑥
1
𝑥
3
+ 2𝑥
1
𝑥
4
+ 2𝑥
2
𝑥
3
+ 8𝑥
2
𝑥
4
 
2.
 
Agar A-kososimmetrik matritsa bo’lsa, u xolda   
𝐵 = (𝐸 − 𝐴)(𝐸 + 𝐴)
−1
 
matritsani  ortoganal ekanligini isbotlang