Teorema. 7.12.
Agar biz ixtiyoriy p
−1
uchun
𝐿
1
, 𝐿
2
, … , 𝐿
𝑝−1
bog’lanishlarda
𝑥
𝑇
𝐴𝑥
𝑥
𝑇
𝐵𝑥
−
ikkita forma nisbati minimumini qarab, bog’lanishlarni variatsiyalasak, u holda
bu minimumlarning maksimumi
𝜆
𝑝
ga teng, ya’ni
𝜆
𝑝
= 𝑚𝑎𝑥𝜇 (
𝐴
𝐵
; 𝐿
1
, 𝐿
2
, … , 𝐿
𝑝−1
) (𝑝 = 1,2, … , 𝑛)
(7.70)
bo’ladi.
Teorema. 7.11.
𝜆
1
, 𝜆
2
, … , 𝜆
𝑛
xarakteristik sonlarni “minimumlik”
xarakteristikasini,
Teorema.
7.12
esa
“maksimal – minimallik”
xarakteristikasini beradi.
𝑥
𝑇
𝐴𝑥 − 𝜆𝑥
𝑇
𝐵𝑥
dastadagi
𝑥
𝑇
𝐴𝑥
formani
−𝑥
𝑇
𝐴𝑥
forma bilan almashtirganimizda dastaning
barcha xarakteristik sonlari ishorasini almashtirilib, ularga mos bosh vektorlar
o’zgarmay qoladi. Shunday qilib,
−𝑥
𝑇
𝐴𝑥 − 𝜆𝑥
𝑇
𝐵𝑥
dastaning xarakteristik sonlari
𝜆
𝑛
≤ −𝜆
𝑛−1
≤ ⋯ ≤ −𝜆
1
bo’ladi.
Bundan tashqari,
𝛾 (
𝐴
𝐵
; 𝐿
1
, 𝐿
2
, … , 𝐿
ℎ
) = 𝑚𝑎𝑥
𝑥
𝑇
𝐴𝑥
𝑥
𝑇
𝐵𝑥
(7.71)
belgilash kiritib, variatsiyalanuvchi vektorlarga
𝐿
1
, 𝐿
2
, … , 𝐿
ℎ
bog’lanishlar
qo’yilgan holda quyidagilarni yozishimiz mumkin
188
𝜇 (−
𝐴
𝐵
; 𝐿
1
, 𝐿
2
, … , 𝐿
ℎ
) = −𝛾(
𝐴
𝐵
; 𝐿
1
, 𝐿
2
, … , 𝐿
ℎ
)
va
𝑚𝑎𝑥𝜇 (−
𝐴
𝐵
; 𝐿
1
, 𝐿
2
, … , 𝐿
ℎ
) = −𝑚𝑖𝑛𝛾 (
𝐴
𝐵
; 𝐿
1
, 𝐿
2
, … , 𝐿
ℎ
).
Shuning uchun,
𝑥
𝑇
𝐴𝑥
𝑥
𝑇
𝐵𝑥
nisbatga 7.10, 7.11, 7.12 teoremalarni qo’llab, (7.64), (7.67), (7.70) formulalar
o’rniga mos ravishda quyidagilarni xosil qilamiz:
𝜆
𝑝
= 𝑚𝑎𝑥
𝑥
𝑇
𝐴𝑥
𝑥
𝑇
𝐵𝑥
,
𝜆
𝑛−𝑝+1
= 𝛾 (
𝐴
𝐵
; 𝐿̃
𝑛
, 𝐿̃
𝑛−2
, … , 𝐿̃
𝑛−𝑝+2
),
𝜆
𝑛−𝑝+1
= min (
𝐴
𝐵
; 𝐿
1
, 𝐿
2
, … , 𝐿
𝑝−1
) ,
(𝑝 = 2, … , 𝑛).
Bu formulalar
𝜆
1
, 𝜆
2
, … , 𝜆
𝑛
sonlarni mos ravishda “maksimallik” va
“minimal - maksimallik” xossalarini aniqlaydi. Bularni teorema ko’rinishida
quyidagicha ifodalaymiz.
Teorema. 7.13.
𝑥
𝑇
𝐴𝑥 − 𝜆𝑥
𝑇
𝐵𝑥
formalar regulyar dastasi xarakteristik sonlari
𝜆
1
≤ 𝜆
2
≤ ⋯ ≤ 𝜆
𝑛
bo’lib, dastaning chiziqli bog’liq bo’lmagan bosh vektorlari
𝑧
1
, 𝑧
2
, … , 𝑧
𝑛
bo’lsin. U holda
1)
𝜆
𝑛
−
eng katta xarakteristik son formalar nisbati maksimumi, ya’ni
𝜆
𝑛
= 𝑚𝑎𝑥
𝑥
𝑡
𝐴𝑥
𝑥
𝑡
𝐵𝑥
(7.72)
bo’lib, bu maksimumga faqat dastaning
𝜆
𝑛
xarakteristik soniga mos
vektorlaridagina erishiladi.
2)
Oxiridan
𝑝 −
xarakteristik
son
𝜆
𝑛−𝑝+1
(2 ≤ 𝑝 ≤ 𝑛)
variatsiyalanuvchi
𝑥
vektorga
189
𝑧
𝑛
𝑇
𝐵𝑥 = 0, 𝑧
𝑛−1
𝑇
𝐵𝑥 = 0, 𝑧
𝑛−𝑝+1
𝑇
𝐵𝑥 = 0
(7.73)
bog’lanishlar qo’yilgan shartda shu formalar nisbati maksimumi bo’ladi
𝜆
𝑛−𝑝+1
= 𝑚𝑎𝑥
𝑥
𝑇
𝐴𝑥
𝑥
𝑇
𝐵𝑥
(7.74)
ya’ni
𝜆
𝑛−𝑝+1
= 𝛾 (
𝐴
𝐵
; 𝐿̃
𝑛
, 𝐿̃
𝑛−1
, … , 𝐿̃
𝑛−𝑝+2
)
(7.75)
Bu maksimumga faqat dastaning
𝜆
𝑛−𝑝+1
xarakteristik soniga mos va (7.73)
shartlarni qanoatlantiruvchi bosh vektorlaridagina erishiladi.
3)
Agar
𝐿
1
(𝑥) = 0, … , 𝐿
𝑝−1
(𝑥) = 0 (2 ≤ 𝑝 ≤ 𝑛)
bog’lanishlardagi
𝑥
𝑇
𝐴𝑥
𝑥
𝑇
𝐵𝑥
formalar nisbati maksimumida bog’lanishlar variatsiyalansa, u holda bu
maksimumlarning eng kichik qiymati (minimumi)
𝜆
𝑛−𝑝+1
ga teng, ya’ni
𝜆
𝑛−𝑝+1
= 𝑚𝑖𝑛𝛾 (
𝐴
𝐵
; 𝐿
1
, 𝐿
2
, … , 𝐿
𝑝−1
)
(7.76)
Quyidagi
ℎ
ta o’zaro bog’liq bo’lmagan bog’lanishlar berilgan bo’lsin
𝐿
1
0
(𝑥) = 0, 𝐿
2
0
(𝑥) = 0, … , 𝐿
ℎ
0
(𝑥) = 0
(7.77)
U holda bu bog’lanishlar yordamida
𝑥
1
, 𝑥
2
, … , 𝑥
𝑛
o’zgaruvchilarni
ℎ
tasini
qolganlari orqali ifodalash mumkin. Qolgan o’zgaruvchilarni
𝑣
1
, 𝑣
2
, … , 𝑣
𝑛−ℎ
lar
bilan belgilaymiz. Shuning uchun (7.77) bog’lanishlar qo’yilganda
𝑥
𝑇
𝐴𝑥 − 𝜆𝑥
𝑇
𝐵𝑥
formalarning regulyar dastasi
𝑣
𝑇
𝐴
0
𝑣 − 𝜆𝑣
𝑇
𝐵
0
𝑣
dastaga o’tib,
𝑣
𝑇
𝐵
0
𝑣 −
yana musbat aniqlangan forma bo’ladi. Keying dasta
faqat
𝑛 − ℎ
ta o’zgaruvchiga bog’liq bo’lgani uchun u
𝜆
1
0
≤ 𝜆
2
0
≤ ⋯ ≤ 𝜆
𝑛−ℎ
0
(7.78)
𝑛 − ℎ
ta xarakteristik songa ega bo’ladi.
190
(7.77) bog’lanishlarni qo’yganda barcha o’zgaruvchilarni
𝑛 − ℎ
ta o’zaro
bog’liq bo’lmagan
𝑣
1
, 𝑣
2
, … , 𝑣
𝑛−ℎ
lar bilan xar xil ifodalash mumkin. Ammo
(7.78) xarakteristik sonlar bu xar xillikka bog’liq bo’lmay, to’la aniqlangan
qiymatlarga ega bo’ladi. Bu hech bo’lmaganda xarakteristik sonlarning minimal
– makimal xossalaridan kelib chiqadi
𝜆
1
0
= 𝑚𝑖𝑛
𝑣
𝑇
𝐴
0
𝑣
𝑣
𝑇
𝐵
0
𝑣
= 𝜇 (
𝐴
𝐵
; 𝐿
1
0
, 𝐿
2
0
, … , 𝐿
ℎ
0
)
(7.79)
va umumiy xolda
𝜆
𝑝
0
= 𝑚𝑎𝑥𝜇 (
𝐴
0
𝐵
0
; 𝐿
1
, 𝐿
2
, … , 𝐿
𝑝−1
) =
= 𝑚𝑎𝑥𝜇 (
𝐴
𝐵
; 𝐿
1
0
, 𝐿
2
0
, … , 𝐿
ℎ
0
; 𝐿
1
, 𝐿
2
, … , 𝐿
𝑝−1
)
(7.80)
shu bilan birga (7.80) formulada faqat
𝐿
1
, 𝐿
2
, … , 𝐿
𝑝−1
bog’lanishlar
variatsialanadi.
Teorema 7.14.
Agar
𝜆
1
≤ 𝜆
2
≤ ⋯ ≤ 𝜆
𝑛
,
𝑥
𝑇
𝐴𝑥 − 𝑥
𝑇
𝐵𝑥
formalarning regulyar dastasi xarakteristik sonlar bo’lib,
𝜆
1
0
≤ 𝜆
2
0
≤ ⋯ ≤ 𝜆
𝑛−ℎ
0
esa shu dastaga
ℎ
ta o’zaro bog’liq bo’lmagan bog’lanishlar qo’yilgandagi
xarakteristik sonlar bo’lsa, u holda
𝜆
𝑝
≤ 𝜆
𝑝
0
≤ 𝜆
𝑝+ℎ
(𝑝 = 1,2, … , 𝑛 − ℎ)
(7.81)
Isboti.
𝜆
𝑝
≤ 𝜆
𝑝
0
tengsizlik (7.70) va (7.80) formulalardan kelib chiqadi.
Xaqiqatan, yangi bog’lanishlar qo’shilganda
𝜇 (
𝐴
𝐵
; 𝐿
1
, … , 𝐿
𝑝−1
)
minimum miqdori ortadi yoki o’zgarmay qoladi. Shuning uchun
𝜇 (
𝐴
𝐵
; 𝐿
1
, … , 𝐿
𝑝−1
) ≤ 𝜇 (
𝐴
𝐵
; 𝐿
1
0
, … , 𝐿
ℎ
0
; 𝐿
1
, … , 𝐿
𝑝−1
)
bo’lib, bundan
𝜆
𝑝
= 𝑚𝑎𝑥𝜇 (
𝐴
𝐵
; 𝐿
1
, … , 𝐿
𝑝−1
) ≤ 𝜆
𝑝
0
= max (
𝐴
𝐵
; 𝐿
1
0
, … , 𝐿
ℎ
0
; 𝐿
1
, … , 𝐿
𝑝−1
)
kelib chiqadi.
191
(7.81) tengsizlikning ikkinchi qismi quyidagi munosabatga ko’ra o’rinli
bo’ladi.
𝜆
𝑝
0
= 𝑚𝑎𝑥𝜇 (
𝐴
𝐵
; 𝐿
1
0
, … , 𝐿
ℎ
0
; 𝐿
1
, … , 𝐿
𝑝−1
)
≤ 𝑚𝑎𝑥𝜇 (
𝐴
𝐵
; 𝐿
1
, … , 𝐿
𝑝−1
, 𝐿
𝑝
, … , 𝐿
𝑝+ℎ−1
) = 𝜆
𝑝+ℎ.
Bu yerda, birinchi qismda faqat
𝐿
1
, … , 𝐿
𝑝−1
bog’lanishlar variatsialanadi, ammo
𝐿
𝑝
, … , 𝐿
𝑝+ℎ−1
lar fiksirlangan
𝐿
1
0
, … , 𝐿
ℎ
0
bog’lanishlar bilan almashtiriladi.
𝑥
𝑇
𝐴𝑥 − 𝜆𝑥
𝑇
𝐵𝑥
va
𝑥
𝑇
𝐴̃𝑥 − 𝜆𝑥
𝑇
𝐵̃𝑥
(7.82)
formalarning regulyar dastalari berilgan bo’lib,
𝑥 ≠ 0
da
𝑥
𝑇
𝐴𝑥
𝑥
𝑇
𝐵𝑥
≤
𝑥
𝑇
𝐴̃𝑥
𝑥
𝑇
𝐵̃𝑥
bo’lsin. U holda
𝑚𝑎𝑥𝜇 (
𝐴
𝐵
; 𝐿
1
, … , 𝐿
𝑝−1
) ≤ 𝑚𝑎𝑥𝜇 (
𝐴̃
𝐵̃
; 𝐿
1
, … , 𝐿
𝑝−1
) (𝑝 = 1,2, … 𝑛)
bo’ladi. Shuning uchun (7.82) dagi dastalarining xarakteristik sonlarini mos
ravishda
𝜆
1
≤ 𝜆
2
≤ ⋯ ≤ 𝜆
𝑛
va
𝜆̃
1
≤ 𝜆̃
2
≤ ⋯ ≤ 𝜆̃
𝑛
lar bilan belgilab,
𝜆
𝑝
≤ 𝜆
𝑝
(𝑝 = 1,2, … , 𝑛)
tengsizlikka ega bo’lamiz.
Demak, quyidagi teorema o’rinli
Teorema 7.15.
Agar (7.82) regulyar dastalar berilgan bo’lib,
𝜆
1
≤ 𝜆
2
≤ ⋯ ≤ 𝜆
𝑛
va
𝜆̃
1
≤ 𝜆̃
2
≤ ⋯ ≤ 𝜆̃
𝑛
mos ravishda ularning xarakteristik sonlari bo’lsa, u holda
𝑥
𝑇
𝐴𝑥
𝑥
𝑇
𝐵𝑥
≤
𝑥
𝑇
𝐴̃𝑥
𝑥
𝑇
𝐵̃𝑥
(7.83)
ayniy munosabatdan
𝜆
𝑝
≤ 𝜆̃
𝑝
(𝑝 = 1,2, … , 𝑛)
(7.84)
kelib chiqadi.
(7.83) tengsizlikda
192
𝑥
𝑇
𝐵𝑥 = 𝑥
𝑇
𝐵̃𝑥
bo’lgan xususiy xolni qaraylik. Bu holda
𝑥
𝑇
𝐴̃𝑥 = 𝑥
𝑇
𝐴𝑥
manfiymas kvadratik forma bo’lib, o’zaro bog’liq bo’lmagan musbat kvadratlar
ko’rinishida yozilishi mumkin:
𝑥
𝑇
𝐴̃𝑥 = 𝑥
𝑇
𝐴𝑥 + ∑
[
Χ
i
(x)]
2
𝑟
𝑖=1
U holda r o’zaro bog’liq bo’lmagan
𝑋
1
(𝑥) = 0, 𝑋
2
(𝑥) = 0, … , 𝑋
𝑟
(𝑥) = 0,
bog’lanishlar qo’yganimizda
𝑥
𝑇
𝐴𝑥
va
𝑥
𝑇
𝐴̃𝑥
formalar ustma – ust tushib, (7.82) dastalar bir hil
𝜆
1
0
≤ 𝜆
2
0
≤ ⋯ ≤ 𝜆
𝑛−2
0
xarakteristik ildizlarga ega bo’ladi:
(7.82) dagi xar bir dastaga teorema 7.14 ni qo’llab,
𝜆̃
𝑝
≤ 𝜆
𝑝
0
≤ 𝜆
𝑝+2
(𝑝 = 1,2, … , 𝑛 − 2)
ga ega bo’lamiz. Bunga (7.84) ni birlashtirib, quyidagi teoremaga kelamiz.
Teorema 7.16.
Agar (7.82) dagi dastalar uchun
𝑥
𝑇
𝐴̃𝑥 = 𝑥
𝑇
𝐴𝑥 + ∑[
Χ
i
(x)]
2
𝑟
𝑖=1
bu yerda
𝑋
𝑖
(𝑥)(𝑖 = 1,2, … , 𝑟)
- o’zaro bog’liq bo’lmagan chiziqli formalar,
(7.84) shart bajarilib,
𝜆
1
≤ 𝜆
2
≤ ⋯ ≤ 𝜆
𝑛
va
𝜆̃
1
≤ 𝜆̃
2
≤ ⋯ ≤ 𝜆̃
𝑛
mos ravishda ularning xarakteristik sonlari bo’lsa, u holda
𝜆
𝑝
≤ 𝜆̃
𝑝
≤ 𝜆
𝑝+𝑟
(𝑝 = 1,2, … , 𝑛) (7.85)
tengsizlik o’rinli bo’ladi.
Xuddi shuningdek quyidagi teoremani ham isbotlash mumkin.
Teorema 7.17.
Agar
𝜆
1
≤ 𝜆
2
≤ ⋯ ≤ 𝜆
𝑛
va
𝜆̃
1
≤ 𝜆̃
2
≤ ⋯ ≤ 𝜆̃
𝑛
lar mos ravishda
193
𝑥
𝑇
𝐴𝑥 − 𝜆𝑥
𝑇
𝐵𝑥
va
𝑥
𝑇
𝐴𝑥 − 𝜆𝑥
𝑇
𝐵̃𝑥
dastalarning xarakteristik sonlari bo’lib,
𝑥
𝑇
𝐵̃𝑥
forma
𝑥
𝑇
𝐵𝑥
formaga
𝑟
ta musbat kvadratlarni qo’shib hosil qilinsa, u holda
𝜆
𝑝−𝑟
≤ 𝜆̃
𝑝
≤ 𝜆
𝑝
(𝑝 = 1,2, … , 𝑛)
(7.86)
tengsizlik o’rinli bo’ladi.
Eslatma. Agar
𝑟 ≠ 0
chekli bo’lsa, teorema (7.16) va teorema (7.17)
larga mos ravishda qandaydir
𝑝
da
𝜆
𝑝
< 𝜆̃
𝑝
va
𝜆̃
𝑝
< 𝜆
𝑝
ga ega bo’lamiz.
Dostları ilə paylaş: |