O`zbekiston respublikasi oliy va o`rta maxsus ta`lim vazirligi andijon davlat universiteti

 
§8. Formalar regulyar dastasi harakteristik  
sonlarining ekstremal xossasi. 
Bizga  
𝑥
𝑇
𝐴𝑥 = ∑ 𝑎
𝑖𝑘
𝑛
𝑖,𝑘=1
𝑥
𝑖
𝑥
𝑘
         𝑣𝑎      𝑥
𝑇
𝐵𝑥 = ∑ 𝑏
𝑖𝑘
𝑛
𝑖,𝑘=1
𝑥
𝑖
𝑥
𝑘
 
kvadratik  formalar  berilgan  bo’lib, 
𝑥
𝑇
𝐵𝑥 −
  musbat  aniqlanga  bo’lsin. 
𝑥
𝑇
𝐴𝑥 −
𝜆𝑥
𝑇
𝐵𝑥 −
 regulyar dasta xarakteristik sonlari  
                                             
𝜆
1
≤ 𝜆
2
≤ ⋯ ≤ 𝜆
𝑛
  
                                (7.62) 
shartni  qanoatlantirsin. Bu xarakteristik sonlarga mos bosh vektorlarni  
𝑧
𝑘
= (𝑧
1𝑘
, 𝑧
2𝑘
, . . , 𝑧
𝑛𝑘
)
𝑡
  (𝑘 = 1,2, … , 𝑛)
 
bilan  belgilaymiz.  

---

 
184 
O’zgaruvchilarni  bir  vaqtda  nolga  teng  bo’lmagan 
(𝑥 ≠ 0)
  barcha 
mumkin  bo’lgan  qiymatlarini  qarab,  formalarni   
𝑥
𝑇
𝐴𝑥
𝑥
𝑇
𝐵𝑥
  nisbatining  eng  kichik 
qiymati (minimumi) ni aniqlaymiz. Buning uchun  
𝑥 = 𝑍𝜉    (𝑥
𝑖
= ∑ 𝑧
𝑖𝑘
𝑛
𝑖,𝑘=1
𝜉
𝑘
, 𝑖 = 1,2, … , 𝑛)
 
almashtirish    yordamida  yangi   
𝜉
1
, 𝜉
2
, … , 𝜉
𝑛
  o’zgaruvchilarga  o’tish  qulaydir.  
Bu  yerda   
𝑧
  berilgan  dastaning  bosh  matritsasi.  Yangi  o’zgaruvchilarda 
qaralayotgan formalar nisbati quyidagi ko’rinishni oladi:  
                                            
𝑥
𝑇
𝐴𝑥
𝑥
𝑇
𝐵𝑥
=
𝜆
1
𝜉
1
2
+𝜆
2
𝜉
2
2
+⋯+𝜆
𝑛
𝜉
𝑛
2
𝜉
1
2
+𝜉
2
2
+⋯+𝜉
𝑛
2
   
                                (7.63)                       
Son  o’qida 
𝜆
1
, 𝜆
2
, … , 𝜆
𝑛
  sonlarga  mos 
𝑛
  ta  nuqtalar  olib,  bu  nuqtalarga 
mos  ravishda   
𝑚
𝑖
= 𝜉
𝑖
2
,     𝑖 = 1,2, … , 𝑛
  massalarni
 
qo’yamiz.  U  holda,  (7.63) 
formulaga  asosan 
𝑥
𝑇
𝐴𝑥
𝑥
𝑇
𝐵𝑥
 
  nisbat bu  sonli   nuqtalarning  massalar  markazi bo’ladi. 
Shuning uchun  
𝜆
1
≤
𝑥
𝑇
𝐴𝑥
𝑥
𝑇
𝐵𝑥
≤ 𝜆
𝑛
 
munosabat o’rinli bo’ladi.  
Bu tengsizlikning birinchi qismida qachon tenglik bajarilishini aniqlaymiz. 
Buning uchun (7.62) da teng xarakteristik sonlarni ajratamiz. 
                                       
 𝜆
1
= ⋯ = 𝜆
𝑝
1
< 𝜆
𝑝
1
+1
= ⋯ 𝜆
𝑝
1
+𝑝
2
< ⋯  
            (7.64)      
 
𝜆
1
 nuqtadan boshqa nuqtalardagi massalar nolga teng ya’ni  
𝜉
𝑃
1
+1
= ⋯ = 𝜉
𝑁
= 0
 
bo’lgandagina va faqat shu holda og’irlik markazi  shu 
𝜆
1
  nuqtaga  tushadi. Bu 
holda  mos 
𝑥
  bosh  ustunlar, 
𝑧
1
, 𝑧
2
, … , 𝑧
𝑛
  larning  chiziqli  kombinatsiyasidan 
iborat  bo’ladi.  Ammo,  bu  barcha  ustunlar 
𝜆
1
  ga  teng  xarakteristik  songa  javob 
beradi, u holda  
𝑥
    
𝜆 = 𝜆
1
 uchun bosh ustun (vektor) bo’ladi. 
 
Shunday qilib biz quyidagi teoremani isbotladik.