O`zbekiston respublikasi oliy va o`rta maxsus ta`lim vazirligi andijon davlat universiteti
Yüklə 3,17 Mb. Pdf görüntüsü
|
- Bu səhifədəki naviqasiya:
- Teorema. 7.13.
- Teorema 7.14.
- Teorema 7.15.
- Teorema 7.16.
- Teorema 7.17.
| Teorema. 7.12.
Agar biz ixtiyoriy p −1 uchun 𝐿 1 , 𝐿 2 , … , 𝐿 𝑝−1 bog’lanishlarda 𝑥 𝑇 𝐴𝑥 𝑥 𝑇 𝐵𝑥 − ikkita forma nisbati minimumini qarab, bog’lanishlarni variatsiyalasak, u holda bu minimumlarning maksimumi 𝜆 𝑝 ga teng, ya’ni 𝜆 𝑝 = 𝑚𝑎𝑥𝜇 ( 𝐴 𝐵 ; 𝐿 1 , 𝐿 2 , … , 𝐿 𝑝−1 ) (𝑝 = 1,2, … , 𝑛) (7.70) bo’ladi. Teorema. 7.11. 𝜆 1 , 𝜆 2 , … , 𝜆 𝑛 xarakteristik sonlarni “minimumlik” xarakteristikasini, Teorema. 7.12 esa “maksimal – minimallik” xarakteristikasini beradi. 𝑥 𝑇 𝐴𝑥 − 𝜆𝑥 𝑇 𝐵𝑥 dastadagi 𝑥 𝑇 𝐴𝑥 formani −𝑥 𝑇 𝐴𝑥 forma bilan almashtirganimizda dastaning barcha xarakteristik sonlari ishorasini almashtirilib, ularga mos bosh vektorlar o’zgarmay qoladi. Shunday qilib, −𝑥 𝑇 𝐴𝑥 − 𝜆𝑥 𝑇 𝐵𝑥 dastaning xarakteristik sonlari 𝜆 𝑛 ≤ −𝜆 𝑛−1 ≤ ⋯ ≤ −𝜆 1 bo’ladi. Bundan tashqari, 𝛾 ( 𝐴 𝐵 ; 𝐿 1 , 𝐿 2 , … , 𝐿 ℎ ) = 𝑚𝑎𝑥 𝑥 𝑇 𝐴𝑥 𝑥 𝑇 𝐵𝑥 (7.71) belgilash kiritib, variatsiyalanuvchi vektorlarga 𝐿 1 , 𝐿 2 , … , 𝐿 ℎ bog’lanishlar qo’yilgan holda quyidagilarni yozishimiz mumkin 188 𝜇 (− 𝐴 𝐵 ; 𝐿 1 , 𝐿 2 , … , 𝐿 ℎ ) = −𝛾( 𝐴 𝐵 ; 𝐿 1 , 𝐿 2 , … , 𝐿 ℎ ) va 𝑚𝑎𝑥𝜇 (− 𝐴 𝐵 ; 𝐿 1 , 𝐿 2 , … , 𝐿 ℎ ) = −𝑚𝑖𝑛𝛾 ( 𝐴 𝐵 ; 𝐿 1 , 𝐿 2 , … , 𝐿 ℎ ). Shuning uchun, 𝑥 𝑇 𝐴𝑥 𝑥 𝑇 𝐵𝑥 nisbatga 7.10, 7.11, 7.12 teoremalarni qo’llab, (7.64), (7.67), (7.70) formulalar o’rniga mos ravishda quyidagilarni xosil qilamiz: 𝜆 𝑝 = 𝑚𝑎𝑥 𝑥 𝑇 𝐴𝑥 𝑥 𝑇 𝐵𝑥 , 𝜆 𝑛−𝑝+1 = 𝛾 ( 𝐴 𝐵 ; 𝐿̃ 𝑛 , 𝐿̃ 𝑛−2 , … , 𝐿̃ 𝑛−𝑝+2 ), 𝜆 𝑛−𝑝+1 = min ( 𝐴 𝐵 ; 𝐿 1 , 𝐿 2 , … , 𝐿 𝑝−1 ) , (𝑝 = 2, … , 𝑛). Bu formulalar 𝜆 1 , 𝜆 2 , … , 𝜆 𝑛 sonlarni mos ravishda “maksimallik” va “minimal - maksimallik” xossalarini aniqlaydi. Bularni teorema ko’rinishida quyidagicha ifodalaymiz. Teorema. 7.13. 𝑥 𝑇 𝐴𝑥 − 𝜆𝑥 𝑇 𝐵𝑥 formalar regulyar dastasi xarakteristik sonlari 𝜆 1 ≤ 𝜆 2 ≤ ⋯ ≤ 𝜆 𝑛 bo’lib, dastaning chiziqli bog’liq bo’lmagan bosh vektorlari 𝑧 1 , 𝑧 2 , … , 𝑧 𝑛 bo’lsin. U holda 1) 𝜆 𝑛 − eng katta xarakteristik son formalar nisbati maksimumi, ya’ni 𝜆 𝑛 = 𝑚𝑎𝑥 𝑥 𝑡 𝐴𝑥 𝑥 𝑡 𝐵𝑥 (7.72) bo’lib, bu maksimumga faqat dastaning 𝜆 𝑛 xarakteristik soniga mos vektorlaridagina erishiladi. 2) Oxiridan 𝑝 − xarakteristik son 𝜆 𝑛−𝑝+1 (2 ≤ 𝑝 ≤ 𝑛) variatsiyalanuvchi 𝑥 vektorga 189 𝑧 𝑛 𝑇 𝐵𝑥 = 0, 𝑧 𝑛−1 𝑇 𝐵𝑥 = 0, 𝑧 𝑛−𝑝+1 𝑇 𝐵𝑥 = 0 (7.73) bog’lanishlar qo’yilgan shartda shu formalar nisbati maksimumi bo’ladi 𝜆 𝑛−𝑝+1 = 𝑚𝑎𝑥 𝑥 𝑇 𝐴𝑥 𝑥 𝑇 𝐵𝑥 (7.74) ya’ni 𝜆 𝑛−𝑝+1 = 𝛾 ( 𝐴 𝐵 ; 𝐿̃ 𝑛 , 𝐿̃ 𝑛−1 , … , 𝐿̃ 𝑛−𝑝+2 ) (7.75) Bu maksimumga faqat dastaning 𝜆 𝑛−𝑝+1 xarakteristik soniga mos va (7.73) shartlarni qanoatlantiruvchi bosh vektorlaridagina erishiladi. 3) Agar 𝐿 1 (𝑥) = 0, … , 𝐿 𝑝−1 (𝑥) = 0 (2 ≤ 𝑝 ≤ 𝑛) bog’lanishlardagi 𝑥 𝑇 𝐴𝑥 𝑥 𝑇 𝐵𝑥 formalar nisbati maksimumida bog’lanishlar variatsiyalansa, u holda bu maksimumlarning eng kichik qiymati (minimumi) 𝜆 𝑛−𝑝+1 ga teng, ya’ni 𝜆 𝑛−𝑝+1 = 𝑚𝑖𝑛𝛾 ( 𝐴 𝐵 ; 𝐿 1 , 𝐿 2 , … , 𝐿 𝑝−1 ) (7.76) Quyidagi ℎ ta o’zaro bog’liq bo’lmagan bog’lanishlar berilgan bo’lsin 𝐿 1 0 (𝑥) = 0, 𝐿 2 0 (𝑥) = 0, … , 𝐿 ℎ 0 (𝑥) = 0 (7.77) U holda bu bog’lanishlar yordamida 𝑥 1 , 𝑥 2 , … , 𝑥 𝑛 o’zgaruvchilarni ℎ tasini qolganlari orqali ifodalash mumkin. Qolgan o’zgaruvchilarni 𝑣 1 , 𝑣 2 , … , 𝑣 𝑛−ℎ lar bilan belgilaymiz. Shuning uchun (7.77) bog’lanishlar qo’yilganda 𝑥 𝑇 𝐴𝑥 − 𝜆𝑥 𝑇 𝐵𝑥 formalarning regulyar dastasi 𝑣 𝑇 𝐴 0 𝑣 − 𝜆𝑣 𝑇 𝐵 0 𝑣 dastaga o’tib, 𝑣 𝑇 𝐵 0 𝑣 − yana musbat aniqlangan forma bo’ladi. Keying dasta faqat 𝑛 − ℎ ta o’zgaruvchiga bog’liq bo’lgani uchun u 𝜆 1 0 ≤ 𝜆 2 0 ≤ ⋯ ≤ 𝜆 𝑛−ℎ 0 (7.78) 𝑛 − ℎ ta xarakteristik songa ega bo’ladi. 190 (7.77) bog’lanishlarni qo’yganda barcha o’zgaruvchilarni 𝑛 − ℎ ta o’zaro bog’liq bo’lmagan 𝑣 1 , 𝑣 2 , … , 𝑣 𝑛−ℎ lar bilan xar xil ifodalash mumkin. Ammo (7.78) xarakteristik sonlar bu xar xillikka bog’liq bo’lmay, to’la aniqlangan qiymatlarga ega bo’ladi. Bu hech bo’lmaganda xarakteristik sonlarning minimal – makimal xossalaridan kelib chiqadi 𝜆 1 0 = 𝑚𝑖𝑛 𝑣 𝑇 𝐴 0 𝑣 𝑣 𝑇 𝐵 0 𝑣 = 𝜇 ( 𝐴 𝐵 ; 𝐿 1 0 , 𝐿 2 0 , … , 𝐿 ℎ 0 ) (7.79) va umumiy xolda 𝜆 𝑝 0 = 𝑚𝑎𝑥𝜇 ( 𝐴 0 𝐵 0 ; 𝐿 1 , 𝐿 2 , … , 𝐿 𝑝−1 ) = = 𝑚𝑎𝑥𝜇 ( 𝐴 𝐵 ; 𝐿 1 0 , 𝐿 2 0 , … , 𝐿 ℎ 0 ; 𝐿 1 , 𝐿 2 , … , 𝐿 𝑝−1 ) (7.80) shu bilan birga (7.80) formulada faqat 𝐿 1 , 𝐿 2 , … , 𝐿 𝑝−1 bog’lanishlar variatsialanadi. Teorema 7.14. Agar 𝜆 1 ≤ 𝜆 2 ≤ ⋯ ≤ 𝜆 𝑛 , 𝑥 𝑇 𝐴𝑥 − 𝑥 𝑇 𝐵𝑥 formalarning regulyar dastasi xarakteristik sonlar bo’lib, 𝜆 1 0 ≤ 𝜆 2 0 ≤ ⋯ ≤ 𝜆 𝑛−ℎ 0 esa shu dastaga ℎ ta o’zaro bog’liq bo’lmagan bog’lanishlar qo’yilgandagi xarakteristik sonlar bo’lsa, u holda 𝜆 𝑝 ≤ 𝜆 𝑝 0 ≤ 𝜆 𝑝+ℎ (𝑝 = 1,2, … , 𝑛 − ℎ) (7.81) Isboti. 𝜆 𝑝 ≤ 𝜆 𝑝 0 tengsizlik (7.70) va (7.80) formulalardan kelib chiqadi. Xaqiqatan, yangi bog’lanishlar qo’shilganda 𝜇 ( 𝐴 𝐵 ; 𝐿 1 , … , 𝐿 𝑝−1 ) minimum miqdori ortadi yoki o’zgarmay qoladi. Shuning uchun 𝜇 ( 𝐴 𝐵 ; 𝐿 1 , … , 𝐿 𝑝−1 ) ≤ 𝜇 ( 𝐴 𝐵 ; 𝐿 1 0 , … , 𝐿 ℎ 0 ; 𝐿 1 , … , 𝐿 𝑝−1 ) bo’lib, bundan 𝜆 𝑝 = 𝑚𝑎𝑥𝜇 ( 𝐴 𝐵 ; 𝐿 1 , … , 𝐿 𝑝−1 ) ≤ 𝜆 𝑝 0 = max ( 𝐴 𝐵 ; 𝐿 1 0 , … , 𝐿 ℎ 0 ; 𝐿 1 , … , 𝐿 𝑝−1 ) kelib chiqadi. 191 (7.81) tengsizlikning ikkinchi qismi quyidagi munosabatga ko’ra o’rinli bo’ladi. 𝜆 𝑝 0 = 𝑚𝑎𝑥𝜇 ( 𝐴 𝐵 ; 𝐿 1 0 , … , 𝐿 ℎ 0 ; 𝐿 1 , … , 𝐿 𝑝−1 ) ≤ 𝑚𝑎𝑥𝜇 ( 𝐴 𝐵 ; 𝐿 1 , … , 𝐿 𝑝−1 , 𝐿 𝑝 , … , 𝐿 𝑝+ℎ−1 ) = 𝜆 𝑝+ℎ. Bu yerda, birinchi qismda faqat 𝐿 1 , … , 𝐿 𝑝−1 bog’lanishlar variatsialanadi, ammo 𝐿 𝑝 , … , 𝐿 𝑝+ℎ−1 lar fiksirlangan 𝐿 1 0 , … , 𝐿 ℎ 0 bog’lanishlar bilan almashtiriladi. 𝑥 𝑇 𝐴𝑥 − 𝜆𝑥 𝑇 𝐵𝑥 va 𝑥 𝑇 𝐴̃𝑥 − 𝜆𝑥 𝑇 𝐵̃𝑥 (7.82) formalarning regulyar dastalari berilgan bo’lib, 𝑥 ≠ 0 da 𝑥 𝑇 𝐴𝑥 𝑥 𝑇 𝐵𝑥 ≤ 𝑥 𝑇 𝐴̃𝑥 𝑥 𝑇 𝐵̃𝑥 bo’lsin. U holda 𝑚𝑎𝑥𝜇 ( 𝐴 𝐵 ; 𝐿 1 , … , 𝐿 𝑝−1 ) ≤ 𝑚𝑎𝑥𝜇 ( 𝐴̃ 𝐵̃ ; 𝐿 1 , … , 𝐿 𝑝−1 ) (𝑝 = 1,2, … 𝑛) bo’ladi. Shuning uchun (7.82) dagi dastalarining xarakteristik sonlarini mos ravishda 𝜆 1 ≤ 𝜆 2 ≤ ⋯ ≤ 𝜆 𝑛 va 𝜆̃ 1 ≤ 𝜆̃ 2 ≤ ⋯ ≤ 𝜆̃ 𝑛 lar bilan belgilab, 𝜆 𝑝 ≤ 𝜆 𝑝 (𝑝 = 1,2, … , 𝑛) tengsizlikka ega bo’lamiz. Demak, quyidagi teorema o’rinli Teorema 7.15. Agar (7.82) regulyar dastalar berilgan bo’lib, 𝜆 1 ≤ 𝜆 2 ≤ ⋯ ≤ 𝜆 𝑛 va 𝜆̃ 1 ≤ 𝜆̃ 2 ≤ ⋯ ≤ 𝜆̃ 𝑛 mos ravishda ularning xarakteristik sonlari bo’lsa, u holda 𝑥 𝑇 𝐴𝑥 𝑥 𝑇 𝐵𝑥 ≤ 𝑥 𝑇 𝐴̃𝑥 𝑥 𝑇 𝐵̃𝑥 (7.83) ayniy munosabatdan 𝜆 𝑝 ≤ 𝜆̃ 𝑝 (𝑝 = 1,2, … , 𝑛) (7.84) kelib chiqadi. (7.83) tengsizlikda 192 𝑥 𝑇 𝐵𝑥 = 𝑥 𝑇 𝐵̃𝑥 bo’lgan xususiy xolni qaraylik. Bu holda 𝑥 𝑇 𝐴̃𝑥 = 𝑥 𝑇 𝐴𝑥 manfiymas kvadratik forma bo’lib, o’zaro bog’liq bo’lmagan musbat kvadratlar ko’rinishida yozilishi mumkin: 𝑥 𝑇 𝐴̃𝑥 = 𝑥 𝑇 𝐴𝑥 + ∑ [ Χ i (x)] 2 𝑟 𝑖=1 U holda r o’zaro bog’liq bo’lmagan 𝑋 1 (𝑥) = 0, 𝑋 2 (𝑥) = 0, … , 𝑋 𝑟 (𝑥) = 0, bog’lanishlar qo’yganimizda 𝑥 𝑇 𝐴𝑥 va 𝑥 𝑇 𝐴̃𝑥 formalar ustma – ust tushib, (7.82) dastalar bir hil 𝜆 1 0 ≤ 𝜆 2 0 ≤ ⋯ ≤ 𝜆 𝑛−2 0 xarakteristik ildizlarga ega bo’ladi: (7.82) dagi xar bir dastaga teorema 7.14 ni qo’llab, 𝜆̃ 𝑝 ≤ 𝜆 𝑝 0 ≤ 𝜆 𝑝+2 (𝑝 = 1,2, … , 𝑛 − 2) ga ega bo’lamiz. Bunga (7.84) ni birlashtirib, quyidagi teoremaga kelamiz. Teorema 7.16. Agar (7.82) dagi dastalar uchun 𝑥 𝑇 𝐴̃𝑥 = 𝑥 𝑇 𝐴𝑥 + ∑[ Χ i (x)] 2 𝑟 𝑖=1 bu yerda 𝑋 𝑖 (𝑥)(𝑖 = 1,2, … , 𝑟) - o’zaro bog’liq bo’lmagan chiziqli formalar, (7.84) shart bajarilib, 𝜆 1 ≤ 𝜆 2 ≤ ⋯ ≤ 𝜆 𝑛 va 𝜆̃ 1 ≤ 𝜆̃ 2 ≤ ⋯ ≤ 𝜆̃ 𝑛 mos ravishda ularning xarakteristik sonlari bo’lsa, u holda 𝜆 𝑝 ≤ 𝜆̃ 𝑝 ≤ 𝜆 𝑝+𝑟 (𝑝 = 1,2, … , 𝑛) (7.85) tengsizlik o’rinli bo’ladi. Xuddi shuningdek quyidagi teoremani ham isbotlash mumkin. Teorema 7.17. Agar 𝜆 1 ≤ 𝜆 2 ≤ ⋯ ≤ 𝜆 𝑛 va 𝜆̃ 1 ≤ 𝜆̃ 2 ≤ ⋯ ≤ 𝜆̃ 𝑛 lar mos ravishda 193 𝑥 𝑇 𝐴𝑥 − 𝜆𝑥 𝑇 𝐵𝑥 va 𝑥 𝑇 𝐴𝑥 − 𝜆𝑥 𝑇 𝐵̃𝑥 dastalarning xarakteristik sonlari bo’lib, 𝑥 𝑇 𝐵̃𝑥 forma 𝑥 𝑇 𝐵𝑥 formaga 𝑟 ta musbat kvadratlarni qo’shib hosil qilinsa, u holda 𝜆 𝑝−𝑟 ≤ 𝜆̃ 𝑝 ≤ 𝜆 𝑝 (𝑝 = 1,2, … , 𝑛) (7.86) tengsizlik o’rinli bo’ladi. Eslatma. Agar 𝑟 ≠ 0 chekli bo’lsa, teorema (7.16) va teorema (7.17) larga mos ravishda qandaydir 𝑝 da 𝜆 𝑝 < 𝜆̃ 𝑝 va 𝜆̃ 𝑝 < 𝜆 𝑝 ga ega bo’lamiz. Yüklə 3,17 Mb. Dostları ilə paylaş:
|