O`zbekiston respublikasi oliy va o`rta maxsus ta`lim vazirligi

Teorema. Agar (I) vektorlar sistemasi chiziqli bog’langan bo’lsa, u holda ulardan bittasini qolganlari orqali ifodalash mumkin.

Isbot. Faraz qilaylik (II) vektorlar sistemasi chiziqli bog’langan bo’lsin. Demak (3) tenglik larning birortasi 0 dan farqli bo’lganda o’rinlidir. Buni e’tiborga olib (3) ni quyidagicha yozamiz. Aniqlik uchun deb qaraylik.


(5)

Bu (5) tenglik vektorni qolganlari orqali ifodalashdan iboratdir.

Ta’rif. Agar fazoda n ta vektor chiziqli bog’lanmagan bo’lsa, u holda fazo n o’lchovli chiziqli fazo deyiladi va deb belgilanadi.

Faraz qilaylik (Ia) chiziqli bog’lanmagan bo’lsin.

(6) chiziqli bog’langan bo’lsin. U holda (Ia) chiziqli erkli deyiladi. Endi (6) sistema chiziqli bog’langan bo’lganligi uchun itsbotlangan teoremaga asosan ularning bittasini qolgaglari orqali ifodalash mumkindir. Shuning uchun ni qolganlari orqali ifodalaymiz.

(7). Bu (7) vektorning (Ia) ifodalanishi deyiladi.

Ta’rif. fazoning n ta chiziqli bog’lanmagan vektorlar to’plami bu fazoning bazisi deyiladi.

Shunday qilib, agar R fazoda bazis vektorlar soni n bo’lsa, u holda bunday fazo n o’lchovli fazo deyiladi va deb belgilanadi.

Masalan, tekislikda vektorlar fazosi 2 o’lchovli fazoni tashkil etadi. fazo fazo to’g’ri chiziqlar ustida yotuvchi vektorlar fazosi bo’lib bir o’lchovlidir.

Faraz qilaylik to’plam bo’lsin. . Bu to’plam elementlariga nisbatan Aniq bir to’plamni tushunish mumkin. Masalan: elementlari sonlardan, vektorlardan, matritsalardan iborat bo’lishi mumkinagar elementlari vektorlardan iborat bo’lsa, vektorlar to’plami deyiladi. Agar elementlari ko’phadlardan iborat bo’lsa, ko’phadlar to’plamidan iborat bo’ladiva xokozolar.

Endi ko’phadlar to’plami qanday bo’lmasin uning elementlarini «vektorlar» deb ataymiz. Bu «vektor» tushuncha, ya’ni elementlarni «vektor» deb atash keng ma’noda tushuniladi.

Ta’rif. Agar to’plamda ikki vektorning (elementning) yig’indisi va biror vektorni songa ko’paytmasi tushunchasi kiritilgan bo’lib quyidagi shartlar:

1.

2.

3.

4. -nol vektor deyiladi.

5. -vektor vektorga qarama-qarshi deyiladi.

6.

7. ( -sonlar)

8.

bajarilsa, u holda bunday to’plam vektorlarning chiziqli favosi deyiladi.

Agar shu shartlardan birortasi bajarilsa, u holda to’plam chiziqli fazo deyiladi.

Misollar: 1. to’plam tekislikda yotuvchi geometrik ma’nodagi vektorlar to’plami bo’lsin.

x_k x_k

x_kQ x_s

x_s x_s

Bu qaralayotgan to’plam chiziqli fazodan iborat.

2. to’plam -chi tartibli determinanti 0 dan farqli bo’lgan kvadrat matritsadan iborat bo’lsin.

Ikki matritsaning yig’indisi deb ularning mos elementlarining yig’indisiga aytiladi. sonni ga ko’paytirish uchun matritsaning hamma elementlari ga ko’paytirish kerak. Bu qabul qilingan amallarga ko’ra 1,2,3 shartlarni tekshhirish qiyin emas. 4 shart uchun 0 dan iborat bo’lgan matritsa qaraladi.5 shart uchun ixtiyoriy matritsaga qarama-qarshi matritsa sifatida hamma elementlari qarama-qarshi ishora bilan olinadi. Demak matritsalar to’plami chiziqli fazoni tashkil etadi.

3. Darajasi n dan oshmaydigan ko’phadlarni qaraylik;

ko’phadlarni qo’shish, songa ko’paytirishni oddiy ma’noda ko’ramiz. Bu to’plam ham chiziqli fazoni tashkil etadi.

4. segmentda uzluksiz bo’lgan funksiyalar to’plamini olib qaraylik.

Ixtiyoriy funksiya segmentda uzluksiz.

Ikki funksiyani tqo’shish va songa ko’paytirishni oddiy ma’noda qaraymiz. Demak uzluksiz funksiyalar to’plami ham chiziqli fazoni tashkil etadi.

5. M to’plam XOY tekislikning faqat 1-chi chorakda yotuvchi vektorlardan iborat bo’lsin. Bu yerda 5-shart bajarilmaydi.