F u s m o n o V, R. I s o m o V, B. X o ‘ j a y e V matematikadan

M i s o l . 4x2y - 5 c -  2x 2y + 8x 2y + 8c = ( 4 - 2 +  8)x2y + (8 - 5)c =
= 10 
x 2y +
3 
c.
K o ‘phadning h ar bir hadi standart shaklda yozilgan va ular 
orasida o ‘xshash h ad lar b o im a s a , k o ‘p h adning bunday shakli 
standart shakl 
deyiladi.
H a r qanday k o ‘phadni standart shaklda yozish m um kin. 
M i s o l . 3
x y 2 +
4x3-
5x 2y -
3x
3
+ 4x 2y - 4x y 2
= (3 - 4
)xy2
+ (4 -
-
3)x
3
+ 
(-5 + 4)x2y = - x y 2+ x 3- x 2y.
2.3. Ko‘phadlar va birhadlar ustida amallar. 
K o ‘phadlarning 
yigindisini topish uchun ularning h ar bir hadini o ‘z ishoralari bilan 
yozib chiqish va hosil b o ig a n y ig in d id a o ‘xshash hadlari b o is a , 
ularni ixchamlash kerak.
M i s o l .
( l x + 5y 2 +
3) + (3
y 2 - 4 x - x y )
= 
l x +
5
y 2 +
3 + 3
y 2-
- 4 x - x y = (1 - 4 )x
+ 
(5 
+ 3
) y 2 - x y +
3 = 
3x +
8
y 2 - x y +
3.
K o ‘p h a d y o k i b ir h a d d a n
k o 'p h a d n i a y iris h u c h u n
kam ayuvchining yoniga ayiriluvchining ham m a hadlarini q a ra m a - 
q arsh i ish o ra bilan yozish va o ‘xshash h a d la ri b o i s a , ularn i 
ixchamlash kerak.
M i s o l . (3a2 + 2 b - c ) - (5b2 + 4 c - 5b) = 3a2 + 2b - c - 5b2-
- 4 c + 5 b = = 3a2- 5b2 + (2 + 5 )b - 
(1 
+ 4)c = 
3
a2 - 5b1 + l b - 5c.
Birhadni ko ‘phadga k o ‘paytirish uchun birhadni ko ‘phadning har 
bir hadiga k o ‘paytirib, hosil b o ig a n k o ‘paytm alarni q o ‘shish kerak.
M i s o l . ( -
2а2с)(Ъа~Ьъ - 5ab2c -
^ 
a-b) = -6 a 4b 'с +
10
a W c 2
+
+ j a 5bc.
K o ‘phadni k o ‘phadga k o ‘paytirish uchun birinchi ko'phadning 
har bir hadini ikkinchi k o'phadning har bir hadiga k o ‘paytirib, hosil 
b o ig a n k o ‘paytm alarni q o ‘shish kerak.
M i s o l . (0 ,l a
2
- 0 , 3 a + l)(3 a
2
- 10) = 0,1a
2
• 3a
2
- 0,1a
2
• 1 0 -
- 0,3a • 3a
2
+ 0,3a • 10 + 3a
2
- 10 = 0,3a
4
- a 2-
0,9 a
3
+ 3a + 3a
2
-
- 10 = 0,3a
4
- 0,9a
3
+ 
2 
a
2
+ 3a - 10.
45

---

Birhadni birhadga b o iis h uchun:
-b o iin u v c h in in g koeffitsiyentini boiuvchinin g koeffitsiyentiga 
boiish ;
-c h iq q a n b o iin m a yoniga boiinuvchidagi har bir harfni b o ii- 
nuvchi va boiuvch idagi shu harflar k o ‘rsatkichlarining ayirm asiga 
teng ko'rsatkich bilan yozish;
-
boiinuvchining b o iu v ch id a b o im a g a n harflarini o'zgartir- 
m asdan, b o iu v c h in in g b o iin u v c h id a b o im a g a n h arflarin i esa 
daraja k o ‘rsatkichini qaram a-qarshi ishora bilan yozish kerak.
M i s o l l a r .
1
) 
(la 3bAc
) : (
8
ab2) -
|
a2b2c;
2
) (
1
,
2
x y 3z") :
( -
0
,
2
x y 3z2)
= 
-6z" 2;
3) 
( # lx y 2z
3) : (
21xyc2)
= 
Ъугъс~2.
K o ‘phadni birhadga b o iis h uchun ko'p h ad n in g h ar bir hadini 
shu birhadga b o iis h va chiqqan natijalarni q o ‘shish kerak.
M i s o l . (48
a3b4 -
36
a4b3 -
12
ab
2) : (
6
ab2)
= 
8
a2b2 -
6
a3b -
2.
3-§. Q isq a k o 'p a y tir is h fo r m u la la r i
Q uyida keltirilgan ay n iy atlar 
qisqa ko'paytirish form ulalari
deyiladi:
1
) 
(a + b)2
= 
a2 + la b + b2 -
y igin dining kvadrati.
2
) 
(a
-
b
)2
= 
a2 - la b + b2
- ayirm aning kvadrati.
3) 
a2- b 2 = ( a - b)(a + b) -
kvadratlar ayirmasi.
4 )
a
3
+ b3 = (a + b)(a2 - a b + b2) 
- kublarning yig'indisi.
5) 
a3 - b 3
= 
( a - b)(a2 + ab + b2) -
kublarning ayirmasi.
6
) 
(a
+ 
b)3 - a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 -
y ig indin ing kubi.
7) 
(a - b)3 = a3 - 3a2b +
3
ab2 - b 3-
ayirm aning kubi.
Bu ay n iy atlar k o 'p g in a hisoblash ishlarini yengillashtiradi, 
algebraik ifodalarni shakl alm ashtirishda qulayliklar yaratadi.
M i s o l l a r . 1) 92 
88
= (90 + 2)(90 - 2) = 8100 - 4 = 8096;
2) 1982 = (200 - 2
)2
= 40 0 00 - 800 + 4 = 39 2 04.
3) 1,01
2
= (1 + 0,01
)2
= 1 + 2 ■
0,01 + 0,01
2
* 1 + 0,02 = 1,02.
4) (5a + * 
b)(5a - \ b ) = (5a)2 - ( \ b ) 2 = 15a2 - \ b2.
5) (
x 2n - 5y")(5yn + x 2n)
= 
(x2n - 5y")(x2"
+ 5
y")
= (x
2")2
-
-(5
>»")2
= 
x 4" -
15y2n.
6
) 
(x
+ 
l y -
3z
)2
-
( l x - у + z )2 = (x + l y - 3z - l x + у - z)
x 
x (x + 
l y
- 3z + 2x -
у + z)
= (3 
у
- x - 4z)(3x 
+ у - I z ) .
46

---

7) (5а
2
+ 
W ) 2
= 25а4 + 30a2Z>3 + 
9 b \
8
) (x + 2)(x
2
-
2x + 4) = x
3
+ 
8
.
9) 
(I x 'y -2 z 2)(49x6y 2 +
14x3j.’z2 + 4z4) = 
( l x 3y )}
- (2z
2)3
=
= 343x
9
y
3
-
8
z6.
10) (x + 2)(x - 2)(x
2
+ 2x + 4)(x
2
- 2x + 4) = (x + 2)(x
2
- 2x + 4) x 
x (x -2)(x
2
+ 2x + 4) = (x
3
+ 
8
)(x
3
-
8
) = (x
3)2
-
82
= x
6
- 64.
11) (x
2
+ 2)(x
4
- 2x
2
+ 4) - x
6
+ 
8
ifodani soddalashtirish natija- 
sida hosil bo'lgan k o 'p h a d nechta haddan ib orat bo'ladi?
Y e с h i 1 i s h i: (x
2
+ 2)(x
4
- 2x
2
+ 4) - x
6
+ 
8
= (x
2)3
+ 2
3
-
- x
6
+ 
8
= x
6
- x
6
+ 
8
+ 
8
= 16. J a v о b: 1 ta haddan iborat bo'ladi.
4-§. K o 'p h a d n i k o 'p a y tu v c h ila r g a a jra tish
K o 'p h ad n i ko'paytuvchilarga ajratish deb, berilgan k o 'p h ad n i 
ikki yoki bir necha birhad va k o'phadlarning ko'paytm asiga aynan 
teng bo'lgan ifodaga alm ashtirishga aytiladi. K o 'p h ad n i k o 'p a y ­
tuvchilarga ajratishning bir necha usullari bor.
4.1. Umumiy ko‘paytuvchini qavsdan tashqariga chiqarish usuli.
Bu u su ld a um u m iy k o 'p a y tu v c h in i to p is h , s o 'n g r a q a v sd a n
tashqariga chiqarish kerak.
M isollar: 1) 48
a}b2
+ 36
a2b -
1
2a4b}
= 12
a2b- 4ab +
12
a2b-
3 —
- 12
a2b ■
a2b2
= 
\2 a 2b(4ab - a2b2
+ 3).
2
) 
a2( m -  
2
)