F u s m o n o V, R. I s o m o V, B. X o ‘ j a y e V matematikadan

<42>+ b(2 - m) = a2(m -
2
) -
b(m 
- 2
) = { m - 2)(a2 - b).
4.2. Guruhlash usuli. K o'phadning ham m a hadlari uchun umumiy 
ko'paytuvchi bo'lm agan holda guruhlash usuli qo'llaniladi. K o 'p ­
hadning hadlarini, ular k o 'p h a d shaklidagi umumiy ko'paytuvchiga 
ega b o 'lad ig an qilib, guruhlarga birlashtiriladi va shu um um iy 
ko'paytuvchi qavsdan tashqariga chiqariladi.
1-m i s о 1:1) 
x y 2 - by2 - a x + ab + y 2 - a.
K o 'p h ad n i k o 'p ay tu v ­
chilarga ajrating.
Y e с h i 1 i s h i. Bu k o 'phadning ham m a hadlari uchun umumiy 
ko'paytuvchi yo'q. K o'phadni 
x y 2 - by2 + y 2 - ax
+ 
ab - a
ko'rinish- 
d a yozib, birinchi u ch ta h ad d an
y 2,
keyingi uchta h ad lard a 
- a
umumiy ko'paytuvchini qavsdan tashqari chiqarish mumkin bo'ladi. 
Shundan so'ng k o 'p h a d ko'paytuvchiga ajratiladi: v2(x -
b
+ 1) -
- a { x - b + \ ) = ( x - b + l)(y2- a ) .
2-m i s о 1: 1) 
m 2 
-
3m 
+ 2 ni ko'paytuvchilarga ajrating.
47

---

Y e c h i l i s h i . K o ' p h a d d a u mu mi y k o ' p a y t u v c h i y o 'q , 
guruhlash ham mum kin emas. Ammo 
-3m
ni 
- m - 2m
ko'rinishda 
yozsak, k o 'p h a d
m z - m - 2 m + 2
k o ‘rinishga keladi, endi bu 
ko'phadni guruhlab ko'paytuvchilarga ajratish mumkin:
n r - 3m + 2 = n r - m - 2m + 2 - m(m
- 1) 
-
2(m -  1) =
= ( m - \ )(m
-
2
).
4.3. 
Qisqa ko'paytirish formulalaridan foydalanib ko'paytuvchi­
larga ajratish usuli.
M i s o l l a r . Qisqa k o 'p a y tirish form ulalarini k o 'p h a d la rn i 
ko'paytuvchilarga ajratishdagi tatbiqini ushbu m isollarda k o 'rib
chiqam iz:
1) 
36a2 b4-
2 5= (
6
ab2)2-
5
2
= (
6
ab2-
5)(6
ab2+
5)-
2) 4.v4-
4 x2
+ 1 = (2x2)2- 2 • 2л
-2
+ 1 = (2л2- l)2;
3) 25a6 + 40as + 16
a4
= (5a
1)2
+ 2 • 5a
3
■
4
a2
+ 
(4a2)2
= (5a
3
+ 4a2)2;
4) 27c3- 0,00 W
/ 6
= (3c)
5
- ( 0 ,0 k
/2)3
= ( 3 c - 0 ,W
2
)(9c
2
+ 0,3
« / 2
+ 
+ 
0,0
k / 4);
5) 125 + 
8
a
36'2
= 5' + (2 
ab4)}
= (5 + 
2ab4)(25 -
10 
ab4
+ 
4 a2bs);
6
) 
8
- 12c + 
6c 2-
с
3
= 2
3
- 3 ■
22c + 3 • 2e
2- c3
= ( 2 - c)3;
7) 6 4 /6+27.-' + 144/ 2
■
(32/ + 
+ (3r)3= (4/ 2
+ 3z)3.
B a’zan ko'phadni ko'paytuvchilarga ajratishda bir necha usul- 
lardan ketm a-ket foydalanishga to 'g 'ri keladi.
M i s o l l a r . 1) a
3
+ a
2
- 12 = a
3
+ a
2
- 4 -
8
= a
3
-
8
+ a
2
- 4 = 
= a3- 2
3
+ a2- 2
2
= (a-2)(a
2
+ 2a + 4) + ( a -
2)(a
+ 2) = ( a - 2)(a
2
+ 2a + 
+ 4 + a + 2) = ( a - 2)(a
2
+ 3 a+
6
);
2) 2a
2
- 5a/> + 3/r = 2a
2
-
4ab - a b + 2b2 + b2 - 2a2 - 4ab
+ 
2b2
+
+ b2- a b
= 
2
(/>
2
-
2ab
+ a 2) + 
b (b - a )= 2 ( b - a ) 2+ b ( b - a ) = ( b - a )
x 
x (
2
(Z>- a) + ft) = (/>- 
a ) ( 2 b - 2a+ b) = ( b - a )(3 b -
2
a);
3)m
2- l m + 12= m 2- 3 m - 4 m +
12= 
m (m -
3 ) - 4 (w - 3) =
= 
( m - 3 ) ( m -
4);
4) ( 4 a - 1)2+ 2 (4 a - 1)+ 1. Agar 4 a - 1 = л belgilashni kiritsak, 
berilgan ifoda л
2
+ 
2
л + 
1
ko'rinishga keladi, hosil bo'lgan k o 'p h a d ­
ni (
1
) form ula yordam ida ko'paytuvchilarga ajratib, oxirgi natijada 
x
ning o 'rn iga 4a - 1 ikkihadni qo'yiladi.
( 4 a - 1)2+ 2 (4 a - 1)+ 
1= x 2+ 2 x +
1 = (л +
1
)
2
= (
4
a _ i + 
1)2
=
= (4a
)2
- 16a2.
5 )x
4
+ x
2
+ 
1
= x 2
+ 
2
л
2
+ 
\ — x 2 —
(x
2
+ l)
2
- x
2
= (x
2
+ 
1
- x) x 
x (x
2
+ l + x ) = ( x
2
- x + l)(x
2
+ x +
1
).
48

---

5-§. Algebraik kasr
T a ’ r i f :
Surat va maxraji algebraik ifodalardan iborat bo 'Igan
kasr algebraik kasr deyiladi.
, 
a
a 2+ 5
a x 2 + b x
(
a - 3 ) ( b - 2
) 
. , 
.. .
M asalan, — j- , —^— , 
cy 
,
----------------- algebraik kasr-
lardir.
Algebraik kasr m axrajining qiymati noldan farqli b o ig a n qiy­
m atlarida m a ’noga ega. M asalan,
1
) 
“
a +
_ b
h
kasr 
a * b 
qiym atlarda aniqlangan.
2
) - ( 
]) k a sr 
a 
= 
0
va 
a 
= 
1
q iy m a tla rd a m a ’n o g a ega 
b o im a y d i.
K asrning surat va maxrajini noldan farqli ifodaga k o ‘paytirish 
va b o iis h mumkin:
a.
=
6
a.
, bu yerda 
с *
0
va 
b 
0
.
b 
c b
5.1. 
Algebraik kasrlami qisqartirish. 
K asrning surat va m axra- 
jid a ishtirok etuvchi um um iy ko'paytuvchiga surat va m axrajini 
b o iis h kasrni 
qisqartirish 
deyiladi.
m2- n 2 _ (m -n ){m + n ) _ m - n
M i s o l l a r . 1) 
-
m(m+n) 
~ m
!
m~+mn 
4 
'
а ^ - 2 а 2Ь _ a 2( a - 2 b ) _ - a 2( 2 h - a ) _
]
^ 2cPb2- a 4b 
а*Ь( 2Ь- а)
a 2( 2 b - a ) a b
° b
a 2+b 2+c 2+ 2 a b + 2 b c + 2 a c
(
a + b + c
)2 
(
a + b + c ) 2
3) -
a 2- b 2- c 2- 2 b c
a 2- ( b 2+ 2 b c + c 2) 
a 2- ( b + c ) 2
(a + b + c ) 2 
_ (a + b+c) ( a + b+c )
a + b + c
( a - ( b +c ) ) ( a +b +c ) ~ ( a - b - c ) ( a + b + c ) ~ a - b - c
’
a4+ a 3+ 4a2 + 
3 a + 3 
a 4+a 3+ a 2 +
3 
a 2 + 3 a +
3
4) 
я 
,
a3- 1 
( a - l ) ( a 2+a+ l )
a2(a2+a + l) + 3(a2+ a+ l ) _ (a2 + a + l ) ( a 2 + 3) 
a 2 + 3
( a - l ) ( a 2+ o+l )
(a2+a + l )( a - l )
49

---

5.2. 
Algebraik kasrlami qo‘shish. 
A lgebraik kasrlam i q o ‘shish 
va ayirishda oddiy kasrlarni qo'shish va ayirish am allarini bajarish 
kabi avval um um iy m axrajga keltirish kerak. Buning uchun avval 
har bir qo'shiluvchi kasrning maxraji ko'paytuvchiga ajratiladi:
5 
3 
5 
3 
5-2
M i s o l l a r .
1
) 
2 x - 2 + 4 x - 4
= 
2 ( x - \)
+ 
4 ( x - l ) = 2 - 2 ( x - \) +
3 
_
10 
3 
10 + 3 _ 
13
+ 4 ( x - l)
~
4 ( x - l) + 
4 ( x - \ ) ~ 4 ( x - \ ) ~
4(дг-1) ’
5b-\ 
b+2 _ b +
1 
_
5 b - l
b+2 
b +
1 
_
5 b - l
2) 
зь2- з
+ 
2b+2 
b~ l ~ 3(b2- n
+ 
2(h+l) 
b~ l ~
 
+
b+2 _ b
+ 1 _
2-(5*-l) 
(b + 2 )-3 (b -\ )
 
(fc+l)-
6
(fc+l) 
_
+ 2(6+1) 
b-\ ~
2-3(fc-1)(fe+l) + 2(fc+l)-3(fc-l) 
( b - l )- 6 ( b + \ ) ~
_ \ o b
- 2
+ з(ь2- ь +
2
ь -
2
)
 
6 (^ +
2
Л+
1
) 
т - г + з ^ + з ь - б - б ^ - т - б
6 ( ^ - 1 )
60?-\)
6 ( ^ - 1 )
6 ( ^ - 1 )
_ 
- 3 b 2+ b - l 4
6( b2- l )
Aa 
cr’+ab _ a - 2
4
a 
a ’+ab _ ( a - 2 ) - a ( a +2 )
a 
+ 2 +a 
2
л 
~~ J 
*" 
2+a 
a ( a+2) ~ 
a(a+ 2)
*" 
a^ + 2a
4
a a
a^+ab
_ 
a ( a 2-
4) + 
Aa2- a ^ - a b
a i - A a + Aa2- a i - a b
+ a ( 2 + a )
a ( a +
2
) 
~ 
a( a + 2)
~ 
a( a+
2
) 
~
_ 
A a 2 - A a - a b _ a ( A a - A - b ) _ A a - b - A
a ( a + 2 )
a ( a +
2
) 
a + 2
5.3. 
Algebraik kasrlarni ko‘paytirish va bo'lish. 
Algebraik kasr­
larni k o'paytirish va bo'lish oddiy kasrlarni ko'paytirish va bo'lish 
qoidalari bo'yicha bajariladi:
а
с
_
a -с 
a
с _ a 
d _ a d
Ъ
аГ — 
b d ' 
b 
‘ 
d ~
b 
с ~
b 
e '
M i s o l l a r .
j. 
Am 
21k 
А- 21- т- к 
Ътк
' 9 
n
16
d ~
9 1 6
n d ~ And
3 
a 2 
( a - b ) ( a + b ) - 3 a 2
2) 
3 a+3 b 5 b - 5 a
3 ( a + b ) - 5 ( b - a )
2
.2
—15 • 
a —b
50

---

a - b
a - b
a - b
6 
b2
2-3 
b 2( a - b )
2
^ 9b2
6
b2
9
b 2 
a ~ b
3-3
b 2( a - b )
3 ’
АЧ 
b2- S b + \ 6
( b -
4)2 
( b -
4)2 
b2- 9
(/7-4)2 (fo-3)(fe+3)
v — irri— : -------- = i , ^-------------= -----------------------
= b -
3;
fc2- 9
(fc-4)2 
(fe+3)(b-4)2
5.4. Algebraik kasrlar ustida birgalikda bajariladigan amallar.
Algebraik kasrlar ustida birgalikda bajariladigan am allar uchun 
sonli kasrlar ustida bajariladigan am allarning tartib va qoidalari 
to ‘liq saqlanadi.
M i s o l l a r .
1. Ifodani soddalashtiring: 
+
Y e c h i l i s h i . Am allarni bajarilish tartibi b o ‘yicha bajara- 
miz. D astlab qavslar ichidagi ifodalarni soddalashtiram iz:
,, 
a+b 
a - b
_ (
a+b) 2- ( a - b ) 2 __ a 2+2a b +b 2- a 2+ 2 a b - b 2 
Aab
' a - b
a+b ~ 
( a - b ) ( a +b )
 
~ 
, , ,
~ 
7 
'
a z - b z 
a - b
a-b a+b
_ (
a-b)2+(a+b)2
_ 
a2-2ab+b2+a2+2ab+b2 _ 2(a2+b2) 
2
) 
a+b + a-b ~ (a+b)(a-b) ~
 
, 
, 
-
’
 
a*—b 
a^-b1
3) Endi b o iis h am alini bajaramiz:
4 
ab
1 _ 4 
ab 
a 2- b 2 
_ l a b
a 2- b 2 
a 2- b 2 2 ^ a 2+ b 2
j
a 2+b 2 '
4) B o iin m ad a n birni ayiramiz:
2
ab
_ 
2 a b - a 2- b 2 _
a 2- l a b + b 2 _
( a - b ) 2
a 2+b 2 
a 2+ b 2 
a 2+b 2 
a 2+b
2 
T 
, 
( a - b ) 2
J a v o b : -
a 2+ b 2
2. Ifodani soddalashtiring:
- b2
a x - b _ b x + a
a +b
b - a
a 2- b 2 a 2+ b 2
Y e c h i l i s h i . K o 'p g in a h o lla rd a am allarn in g bajarilish 
tartibini yodda tutgan holda ularni birgalikda ketm a-ket bajarib 
borish m aqsadga muvofiqdir:
51

---

a x - b bx+a
a + b
b - a
‘ a 2- b 2 a 2+b 2 ^
x
2- \ ' 
* ~ l
(■a x - b ) ( b - a ) - ( b x + a ) ( b + a
) 
(
b + a ) ( b - a
)
a 2- b 2 
x —
1 
a b x - a 2x - b 2+ a b - b 2x - a b x - a b - a 2
a 2 + b
2
b 2- a 2
p + b
2
W l )
-д
^ a 2+b2
j - ^ a 2+62 j
a2- b 2
(a2+b2 )
^+1)
a 2- h
2
[a2+b2 y +
1) 
|
(a2+b2 )\x+\)
J a v o b :
1
.
3. Ifodani soddalashtiring va uning 
a
= 0,5 dagi qiym atini hi-
„2 4
soblang
1
+
3 x + j r
x + 3
a x - 2 a 2 
x 2+ x - 2 a x - 2 a
Y e c h i l i s h i : 1) Ifodani soddalashtiram iz: 
(
x
2
a x - 2 a 2 
x 2+ x - 2 a x - 2 a
Здг+л:2 | _
x
2
+ x + 3 \ ~ a ( x - 2 a )
л(д:+1)-2а(дг+1) x
(*+3)(*+l)
x+3+x(x+3) 
x 
2
x+3 
~ a (x -2 a )
(
x+ \)(x-2 a )
x+3 
~
a(x-2a )
2 
_ 
x -2 a _
1 
x -2 a ~ a (x-2 a ) ~ a
•
2) Ifodaning 
a
= 0,5 dagi qiym atini hisoblaymiz:
1
1
0 a =
0,5
J a v o b :
2
.