Pavel Sergeevich Aleksandrov



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APUNTES DE HISTORIA DE LAS MATEMÁTICAS 

                 VOL. 1, NO. 3, SEPTIEMBRE 2002

 

 

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PAVEL SERGUEIEVICH ALEKSANDROV 

José Luis Díaz Gómez 

 

Pavel Sergueievich Aleksandrov nació el 25 de abril de 1896 en Bogorodsk, Rusia y murió 



el 16 de noviembre de 1982. Se graduó en la Universidad de Moscú en 1917, se unió a la 

facultad de matemáticas de esta universidad en 1921 y en 1929 fue nombrado su director. 

Planeo,  en  colaboración  con  el  matemático  suizo  H.  Hopf,  la  escritura  de  un  tratado 

definitivo  de  topología  de  tres  volúmenes.  De  este  tratado  sólo  se  publicó  el  primer 

volumen, llamado Topología I (1935) ([7]).  

Aleksandrov  influyó  y  alentó  el  desarrollo  de  la  escuela  de  topología  de  Moscú. 

Inicialmente  su  trabajo  se  desarrolló  en  la  topología  de  la  teoría  de  conjuntos  y 

posteriormente se desarrolló en el campo de la topología algebraica

1



Aleksandrov  introdujo  muchos  de  los  conceptos  básicos  de  topología,  como  la  noción  de 



que  un  espacio  topológico  arbitrariamente  general  puede  aproximarse  con  un  grado 

arbitrario de exactitud por medio de figuras geométricas simples como los poliedros. Pero, 

antes de continuar destacando su influencia en la matemática, hagamos un recorrido sobre 

su vida desde el inicio. 

El padre de Pavel Sergueievich Aleksandrov, Serguei Aleksandrovich Aleksandrov, fue un 

médico  graduado  en  la  Universidad  de  Moscú,  que  había  decidido  no  seguir  una  carrera 

académica,  pero  que  en  cambio  eligió  usar  sus  habilidades  para  ayudar  a  las  personas,  y 

para  esto  trabajó  como  médico  general  en  Yaroslavskii.  Posteriormente  trabajó  en  el 

hospital de Bogorodskii  con una mejor posición,  que es  donde estaba cuando nació  Pavel 

Sergueievich ([1], [2],[6]). 

Cuando Pavel Sergueievich tenía un año, su padre se mudó al hospital Estatal de Smolensk, 

donde adquirió una gran reputación como un buen cirujano, por lo que la familia cambió su 

residencia  por  un  cierto  tiempo  a  Smolensk.  La  ciudad  de  Smolensk  está  a  la  orilla  del 

Dnieper, 420 km al oeste de Moscú. La educación inicial de Pavel Sergueievich la recibió 

de  su  madre  Tsezariya  Akimovna  Aleksandrova,  quien  aplicó  todo  su  talento  en  la 

educación de sus hijos. Pavel aprendió de ella el idioma francés y el alemán. La casa de la 

familia  era  muy  alegre  y  siempre  estaba  llena  con  música  y  sus  hermanos  y  hermanas 

tenían un gran talento en este campo ([1], [2],[6]). 

 

La  educación  inicial  que  su  madre  le  dio  le  permitió  aventajar  siempre  en  la  escuela 



primaria a la que asistió en Smolensk. Su maestro de matemáticas, Aleksandr Romanovich 

                                                 

1

  La  topología  algebraica  es  una  parte  de  la  topología  que  tiene  por  objeto  descubrir  las 



propiedades  de  los  espacios  topológicos  por  medio  del  álgebra  y  hallar  las  condiciones 

necesarias para que dos espacios topológicos sean homeomorfos, o sea equivalentes

 



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Eiges, comprendió pronto que su alumno tenía un notable talento para las matemáticas ([3] 

y [4],[6]): 



...  en  la  escuela  primaria  estudió  mecánica  celeste  y  análisis  matemático.  Pero  su 

interés  estaba  dirigido  principalmente  hacia  los  problemas  fundamentales  de  la 

matemática:  los  fundamentos  de  la  geometría  y  la  geometría  no-euclidiana.  Eiges 

tenía gran aprecio por su alumno y ejerció una influencia firme en su elección de una 

carrera en la matemática. 

En  1913  Aleksandrov  se  graduó  de  la  escuela  primaria  siendo  el  primero  de  su  escuela  y 

ganó  una  medalla  de  oro.  Ciertamente  en  este  momento  ya  había  decidido  estudiar  una 

carrera  en  matemáticas,  pero  no  había  puesto  sus  ojos  tan  alto  como  en  llegar  ser  un 

maestro universitario, sino más bien,  estaba pensando en hacerse maestro de matemáticas 

de  la  escuela  preparatoria.  Eiges  era  el  modelo  al  que  aspiraba  en  esta  fase,  pero  Eiges 

había  hecho  algo  más  que  enseñarle  matemáticas  a  Aleksandrov,  él  también  había 

influenciado su gusto por la literatura y las artes ([6]). 

Aleksandrov  ingresó  a  la  Universidad  de  Moscú  en  1913  e  inmediatamente  le  ayudó 

Stepanov.  Stepanov  trabajaba  en  la  Universidad  de  Moscú  y  era  siete  años,  pero  su  casa 

también estaba en Smolensk y visitaba con frecuencia la casa de Aleksandrov. Stepanov fue 

una influencia importante para Aleksandrov en este período y le sugirió a Aleksandrov que 

se uniera al seminario de Egorov, incluso en el primer año de sus estudios en Moscú. En su 

segundo año de estudios, Aleksandrov entró en contacto con Luzin, quien había regresado a 

Moscú. Aleksandrov escribió ( [3], [4], [6]):  

A finalizar la conferencia de Luzin, me dirigí hacia él y le solicité un consejo sobre 

cual  es  la  mejor  forma  de  continuar  mis  estudios  de  matemáticas,  e  impactó  a  la 

mayoría la amabilidad de Luzin hacia el hombre que se dirigió a él - un estudiante de 

18 años de edad... después me convertí en un estudiante de Luzin, durante su período 

más  creativo...  ver  a  Luzin  por  esos  años  era  ver  una  representación  de  lo  que  se 

llama una relación inspirada en la ciencia. No sólo aprendí matemáticas de él, sino 

que también recibí una lección de lo que hace a un verdadero estudioso y lo que un 

profesor universitario puede y debe ser.  

Aleksandrov demostró su primer resultado importante en 1915, a saber, que todo conjunto 

no  numerable  de  Borel  contiene  un  subconjunto  perfecto.  No  sólo  era  un  resultado  muy 

importante  para  la  teoría  de  conjuntos,  sino  también  los  métodos  que  Aleksandrov  usó  y 

qué resultaron ser de los más útiles en la teoría de conjuntos. Después de los grandes éxitos 

de  Aleksandrov,  Luzin  hizo  lo  que  muchos  supervisores  deberían  hacer,  comprendió  que 

tenía  en  Aleksandrov  a  uno  de  los  más  grandes  talentos  matemáticos,  así  que  pensó  que 

merecía  la  pena  pedirle  que  tratara  de  resolver  el  mayor  problema  abierto  en  la  teoría  de 

conjuntos, ciertamente la hipótesis del continuo. 

La  hipótesis  del  Continuo  establece  que  no  hay  ningún  conjunto  cuya  cardinalidad 

esté entre la de los números Naturales y la de los números Reales.  



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Cuando  Aleksandrov  no  pudo  resolver  la  hipótesis  del  continuo

2

,  pensó  que  no  estaba 



capacitado  para  una  carrera  matemática  y  se  fue  a  Novgorod-Severskii,  donde  se  hizo 

productor  de  teatro.  Posteriormente  se  fue  a  Chernikov  donde,  además  del  trabajo  teatral, 

enseñó ruso e idiomas extranjeros, e hizo amistad con poetas, artistas  y músicos. Después 

de un período corto en la cárcel, en 1919 durante la revolución rusa, Aleksandrov regresó a 

Moscú en 1920. Luzin y Egorov habían formado un grupo de investigación impresionante 

en la Universidad de Moscú al que los estudiantes llamaron “Luzitania” y ellos, junto con 

Privalov y Stepanov, recibieron muy bien a Aleksandrov en su regreso ([6]). 

Sin embargo, el regreso de Aleksandrov a Moscú no fue inmediato, ya que pasó de 1920-21 

en su casa en Smolensk, donde enseñó en la Universidad. Durante este tiempo trabajó en su 

investigación,  yendo  a  Moscú  por  lo  menos  un  mes  para  estar  en  contacto  con  los 

matemáticos  y  prepararse  para  sus  exámenes.  Alrededor  de  este  tiempo  Aleksandrov  se 

hizo amigo de Urysohn, quien era un miembro de 'Luzitania', y la amistad pronto desarrolló 

una mayor colaboración matemática.  

Después  de  presentar  sus  exámenes  en  1921,  Aleksandrov  fue  designado  como 

conferencista  en  la  universidad  de  Moscú  y  disertó  en  una  variedad  de  temas  incluyendo 

funciones de una variable real, topología  y teoría de Galois. En julio 1922 Aleksandrov  y 

Urysohn fueron a pasar el verano a Bolshev, cerca de Moscú, donde empezaron a estudiar 

los conceptos de la topología. Del libro de Topología tomamos la siguiente definición [5]: 



“En  un  conjunto  R  de  elementos  cualesquiera  se  dice  que  se  define  una 

correspondencia  topológica,  si  a  cada  subconjunto  M  de  R,  se  le  asocia  un 

subconjunto 

M

 de R. Al conjunto R y la correspondencia topológica en él definida 

se le llama espacio topológico general. Lo designaremos, siempre que no haya lugar 

y confusión con R...” 

En  1914  Hausdorff  publicó  un  libro  llamado  Grundzüge  der  Mengenlehre,  en  el  que, 

construyendo  sobre  el  trabajo  de  Fréchet  y  otros,  había  creado  una  teoría  topológica  y  de 

los  espacios  métricos.  Aleksandrov  y  Urysohn  impulsaron  esta  teoría  hacia  los  espacios 

compactos contables, produciendo resultados de importancia fundamental. La noción de un 

espacio  compacto  y un espacio  localmente  compacto  se debe a ellos.  Del  libro Topología 

tomamos las siguientes definiciones [5]: 

Definición:  Un  espacio  topológico  se  llama,  según  Fréchet,  compacto  si  todo 

subconjunto infinito de él posee, al menos, un punto de acumulación. 

Teorema: Un espacio métrico es compacto si  y sólo si, toda sucesión de puntos del 

espacio contiene una sucesión parcial convergente. 

                                                 

2

  Lo  que  no  es  sorprendente,  ya  que  no  puede  demostrarse  ni  refutarse,  como  lo  mostró 



Cohen en los años sesenta. Se demostró que es independiente de los axiomas de la teoría de 

conjuntos, en el mismo sentido en que el Quinto Postulado de Euclides es independiente de 

los otros axiomas de la geometría euclidiana. 



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Definición:  Un  espacio  topológico  se  dice  bicompacto,  si  toda  cubierta  de  él 

contiene una cubierta finita. 

En  los  veranos  de  1923  y  1924  Aleksandrov  y  Urysohn  visitaron  Göttingen  e 

impresionaron a Emmy Noether, Courant y Hilbert con sus resultados. Los matemáticos de 

Göttingen  estaban  particularmente  impresionados  con  sus  resultados  sobre  cuándo  un 

espacio topológico es metrizable.  

“Metrizable: Un espacio topológico E es metrizable si existe una distancia en E tal 

que la topología asociada a esta distancia no sea mas que la topología dada.” 

En  el  verano  de  1924  visitaron  también  a  Hausdorff  en  Bonn  y  éste  quedó  fascinado  al 

escuchar la dirección  que los  dos  estaban tomando en la topología. Sin  embargo mientras 

visitaban a Hausdorff en Bonn ([3], [4], [6]):  



Todos  los  días  Aleksandrov y Urysohn  nadaron  en el  Rhin  -  una acción  que estaba 

lejos de ser segura y provocó el disgusto de Hausdorff.  

Después  Aleksandrov  y  Urysohn  visitaron  a  Brouwer  en  Holanda  y  París  en  agosto  de 

1924,  antes  de  tomar  unas  vacaciones  en  el  pueblo  de  pescadores  de  Bourg  de  Batz  en 

Bretaña.  Por  supuesto  que  los  matemáticos  continuaron  trabajando  mucho  y  hacían 

matemáticas mientras estaban de vacaciones. En la mañana del 17 agosto Urysohn empezó 

a escribir un nuevo artículo, pero trágicamente ése mismo día se ahogó mientras nadaba en 

el  Atlántico.  Aleksandrov  determinó  que  ninguna  de  las  ideas  de  su  gran  amigo  y 

colaborador  deberían  perderse,  así  que  pasó  gran  parte  de  los  años  de  1925  y  1926  en 

Holanda  trabajando  con  Brouwer  en  la  escritura  del  artículo  de  Urysohn  para  su 

publicación. 

La  atmósfera  en  Göttingen  había  demostrado  ser  muy  útil  para  Aleksandrov, 

particularmente después de la muerte de Urysohn, y pasó allí todos los veranos desde 1925 

hasta  el  año  de  1932.  Allí  se  hizo  muy  amigo  de  Hopf  y  entre  los  dos  mantuvieron  un 

seminario  de  Topología  en  Göttingen.  Claro  que  Aleksandrov  también  enseñó  en  la 

Universidad de Moscú y desde 1924 organizó allí un seminario de topología. En Göttingen, 

Aleksandrov  dictó  conferencias  y  participó  en  el  seminario  de  Emmy  Noether.  De  hecho 

Aleksandrov  siempre  incluyó  a  Emmy  Noether  y  Hilbert  entre  sus  maestros,  así  como  a 

Brouwer  en  Amsterdam  y  a  Luzin  y  Egorov  en  Moscú.  En  1926  trabajó  con  Brouwer  en 

Holanda en la preparación del artículo de Urysohn para su publicación ([6]). 

Desde 1926, Aleksandrov y Hopf se hicieron grandes amigos  y trabajaron juntos. Pasaron 

algún tiempo en 1926 en el sur de Francia con Neugebauer. Posteriormente, Aleksandrov y 

Hopf  pasaron  un  año  sabático  en  Princeton,  en  los  Estados  Unidos,  de  1927  a  1928.  Con 

Aleksandrov y Hopf en Princeton y con la colaboración de Lefschetz, Veblen y Alexander, 

este  fue  un  año  muy  importante  para  el  desarrollo  de  la  topología.  Durante  su  año  en 

Princeton,  Aleksandrov  y  Hopf  planearon  la  escritura  conjunta  de  tres  volúmenes  de 

Topología,  pero  el  primer  volumen  apareció  hasta  1935.  Este  fue  el  único  de  los  tres 

volúmenes que apareció ya que la Segunda Guerra Mundial impidió la colaboración para la 

escritura  de  los  dos  volúmenes  restantes.  De  hecho,  antes  de  que  el  trabajo  conjunto  con 




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Hopf  apareciera  impreso,  Aleksandrov  había  empezado  otra  amistad  y  colaboración 

importante. 

En 1929 inició la amistad con Kolmogorov y ellos ([3], [4], [6]): 

...  viajaron  mucho  a  lo  largo  del  Volga,  el  Dnieper,  y  otros  ríos,  por  el  Caucaso, 

Crimea, y el sur de Francia. 

El  año  1929  marca  no  sólo  el  principio  de  la  amistad  con  Kolmogorov,  sino  también  la 

designación de Aleksandrov como Profesor de Matemática en la Universidad de Moscú. En 

1935  Aleksandrov  fue  a  Yalta  con  Kolmogorov,  y  cerca  de  Crimea  terminó  su  libro  de 

Topología, siendo publicado en este mismo año. El período “Komarovski” también empezó 

por ese año ([3], [4], [6]): 



Durante  los  últimos  cuarenta  años,  muchos  de  los  eventos  en  la  historia  de  la 

matemática  de  la  Universidad  de  Moscú  se  han  unido  con  Komarovka,  un  pueblo 

pequeño  fuera  de  Moscú.  Aquí  está  la  casa  que  desde  1935  poseían  Aleksandrov  y 

Kolmogorov.  Muchos  matemáticos  famosos  extranjeros  también  visitaron 

Komarovka - Hadamard, Fréchet, Banach, Hopf, Kuratowski, y otros. 

En los años 1938-1939 un grupo de varios matemáticos de la Universidad de Moscú, entre 

ellos  Aleksandrov,  se  unieron  al  Instituto  de  Matemáticas  Steklov  de  la  Academia  de 

Ciencias Rusa pero al mismo tiempo conservaron su posición en la Universidad. 

Aleksandrov escribió aproximadamente 300 trabajos científicos en su larga carrera. Ya en 

1924 introdujo el concepto de una cubierta localmente finita que usó como una base para su 

criterio para la métrica de espacios topológicos.  

“Cubierta:  Una  familia  de  conjuntos  de  un  espacio  topológico  no  vacío  se  llama 

cubierta de un conjunto de puntos A de R, si todo punto de A pertenece al menos a un 

conjunto de la familia criterio para la métrica de espacios topológicos.” 

 Dió los fundamentos de la teoría de la homología en una serie de artículos fundamentales 

entre  1925  y  1929.  El  trabajo  de  Aleksandrov  en  homología

3

  avanzó  hacia  su  teoría 



homológica de la dimensión alrededor de 1928-30. 

Aleksandrov fue el primero en usar la frase "kernel de un homomorfismo"  y alrededor de 

1940-41 descubrió los ingredientes de una sucesión exacta. 

“Kernel: Sea f un homomorfismo de un grupo G en un grupo H. La imagen recíproca 

de un elemento neutro de H bajo f, es un grupo distinguido de G, llamado kernel de f 

e indicado con la notación, Ker(f).” 

                                                 

3

  La  homología  es  una  manera  de  vincular  grupos  abelianos  (u  objetos  algebraicos  más 



detallados) a un espacio del topológico para obtener invariantes algebraicos.  

 



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“Sucesión exacta: Sea A un anillo unitario. Una sucesión exacta de A-módulos es la 

dada por una familia (E

n



n



 de A-módulos, y para todo entero racional n, por una 

aplicación  lineal  f

n

  de  E

n

  en  E

n+1

,  siendo  igual  la  imagen  de  f

n

  al  núcleo  de  f

n+1 

:Im(f

n

) = Ker(f

n+1

).”

 

Trabajó  en  la  teoría  de  mapeos  continuos  de  espacios  topológicos.  En  1954  organizó  un 

seminario sobre este último tema dirigido a estudiantes de primer año en la Universidad de 

Moscú y aquí mostró uno de los aspectos de su carrera que fue de gran importancia para él, 

a saber, la educación de los estudiantes. Esto se describe en ([3], [4], [6]): 

Aleksandrov  consagró  literalmente  toda  su  fuerza  a  la  enseñanza  de  estos 

estudiantes  y  a  la  de  aquellos  que  vinieron  detrás  de  ellos.  Su  influencia 

sobre  los  jóvenes  que  estudiaban  topología  con  él,  no  sólo  fue  en  la 

matemática,...  

Se  dieron  muchos  honores  a  Aleksandrov  por  su  excelente  contribución  a  la  matemática. 

Fue  presidente  de  la  Sociedad  Matemática  de  Moscú  de  1932  a  64,  vicepresidente  del 

Congreso  Internacional  de  Matemáticos  de  1958  a  62,  un  miembro  correspondiente  de  la 

Academia Soviética de Ciencias desde 1929 y un miembro de tiempo completo desde 1953. 

Muchas  sociedades  eligieron  a  Aleksandrov  como  miembro,  entre  ellas  la  Academia  de 

Ciencias  de  Göttingen,  la  Academia  Austriaca  de  Ciencias,  la  Academia  Leopoldina  en 

Halle,  la  Academia  de  Ciencias  de  Polonia,  la  Academia  Nacional  de  Ciencias  de  los 

Estados Unidos, la Sociedad Matemática de Londres, la Sociedad Filosófica Americana, y 

la Sociedad Matemática Holandesa ([6]). 

Editó  varios  Revistas  matemáticas,  en  particular  la  famosa  revista  Soviética  Uspekhi 

Matematicheskikh Nauk, y recibió muchos premios soviéticos, incluso el premio Stalin en 

1943 y cinco Órdenes de Lenín.  

Hoy  el  Departamento  de  Topología  General  y  Geometría  de  la  Universidad  Estatal  de 

Moscú  es  el  centro  líder  de  investigación  en  Rusia  en  topología  y  teoría  de  conjuntos. 

Después de la muerte de Aleksandrov en noviembre de 1982, sus colegas del Departamento 

Superior de Topología y Geometría en la que fuera director, enviaron una solicitud al rector 

de  la  Universidad  de  Moscú,  A.  Logunov,  proponiendo  que  uno  de  los  estudiantes 

formados  por  Aleksandrov  fuera  el  director  del  Departamento,  para  conservar  la  escuela 

científica de Aleksandrov. El 28 de diciembre de 1982 el rector emitió una circular creando 

el  Departamento  de  Topología  General  y  Geometría.  Siendo  electo  Vitaly  Vitalievich 

Fedorchuk como director del Departamento ([6]). 

También en memoria de las contribuciones de Aleksandrov a la topología en la Universidad 

de  Moscú  y  su  trabajo  con  la  Sociedad  Matemática  de  Moscú,  hay  un  simposio  anual  de 

topología de Aleksandrov cada mes de mayo. 

 



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REFERENCIAS 

[1]


 

Dictionary  of  Scientific  Biography.  Pavel  Sergeeivich  Aleksandrov  (New  York 

1970-1990).  

[2]


 

Enciclopedia Britannica. Pavel Sergeeivich Aleksandrov. 

[3]


 

A.  V.  Arkhangelskii,  A.  N.  Kolmogorov,  A.  A.  Malcev  and  O.  A.  Oleinik,  Pavel 



Sergeevich  Aleksandrov  :  on  his  80th  birthday,  Russian  Mathematical  Surveys  31 

(5) (1976), 1-13.  

[4]

 

A.  V.  Arkhangelskii,  A.  N.  Kolmogorov,  A.  A.  Malcev  and  O.  A.  Oleinik,  Pavel 



Sergeevich Aleksandrov : on his 80th birthday (Russian), Uspekhi Mat. Nauk 31 (5) 

(1976), 3-15.  

[5]

 

Alexandroff, Pavel, y Hopf, Heinz. Topología de conjuntos. Versión castellana del 



original alemán por Oscar Valdivia Gutiérrez, C. I. E. A. I. P. N., 1965. 

SITIOS EN LA RED 

[6]


 

J.  J.  O'Connor  and  E.  F.  Robertson.  Pavel  Sergeevich  Aleksandrov. 

http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/Mathematicians/Aleksandrov.html 

[7]


 

Aleksandrov, Pavel Sergeevich 

http://www.xrefer.com/entry/170311



 



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