Renteberegning af en kapital – et beløb

Notat Side af

Renteberegning (Finansiel regning)

0. 
   Grafisk afbildning af betalingsforløb
   
1. 
   Renteberegning af en kapital
   1.1 Enperiodisk renteberegning – simpel rente
   1.2 Flerperiodisk renteberegning – rentes rente
   
2. 
   Renteberegning af en betalingsrække
   – en annuitet
   

0. Grafisk afbildning af en betaling / betalingsrække
Når der skal foretages en renteberegning kan det i en del tilfælde være en fordel at afbilde forløbet grafisk mhp. at få en korrekt optælling af antallet af betalinger og terminer.

Der findes ingen almen vedtaget systematik til grafisk afbildning af betalingsforløb, men den følgende beskrevne måde fungerer.

Den grafiske afbildning foretages i forhold til en tidsakse, idet ind- og udbetalinger symbo-liseres med pile. – En renteberegning kan foretages fra flere synsvinkler – en opsparer, en låner, en investor, en konto, et projekt, en bank, etc. Vi lader tidsaksen repræsentere synsvinklen (interessenten), som beregningen laves for. En pil rettet ind mod tidsaksen angiver en indbetaling, og en pil rettet bort fra tidsaksen angiver en udbetaling. – Dvs. synsvinklen eller interessenten er den, som vi laver analysen for.

Indbetaling

K
Tid

Udbetaling

K
Tid

Opsparing En udbetalingsrække (y) sluttende med en indbetaling (A_n) – annuitet

A_n

y y y y y y

(Opsparer) Tid

Låntagning En indbetaling (A₀) efterfulgt af en udbetalingsrække (y) – annuitet

A₀

y y y y y y

(Låntager) Tid

Investering En udbetaling (U) efterfulgt af en indbetalingsrække (I)

U

I₁ I₂ I₃ I₄ I₅ I₆

(Investor) Tid

0

1. Renteberegning af en kapital

– et bestemt beløb, som forrentes i sin helhed i et tidsrum

1.1 Enperiodisk renteberegning – simpel rente
Anvendes i den situation, hvor et beløb K forrentes i et tidsrum n, der er mindre end en rentetermin.
r = terminsrente (rente i procent pr. termin)

n = antal dage kapitalen K sættes på rente

K · r · n


Rente =

100 · termin (i dage)

Efter n dage udgør kapitalen inklusiv rente: K + Rente

1.2 Flerperiodisk renteberegning – rentes rente
Anvendes i den situation, hvor et beløb K forrentes i et tidsrum, der omfatter flere renteter-miner og renterne indestår, således at beløbet løbende tilskrives rente af renter.
K₀ Fremskrivning K_n

Antal terminer, n 0 1 2 3 4 - - - - - - - n

Tilbageskrivning
K₀ er betegnelsen for beløbets kapitalværdi til tidspunkt 0.

K_n er betegnelsen for beløbets kapitalværdi til tidspunkt n.

n = antal renteterminer, der er lige store (rentetermin = tidsrummet mellem den periodiske tilskrivning af rente)

r = terminsrenten – samme rentesats i alle terminer.

Et beløb (en saldo), hvortil ”løbende” lægges tilskrevne renter, og hvoraf tilskrives renter med samme procentsats og konstante tidsintervaller opfylder egenskaberne for en ekspo-nentiel udvikling, dvs.:

f(n) = K_n = K₀ · (1 + r)ⁿ 

Fremskrivning af en kapital K_o i n terminer: K_n = K_o · (1 + r)ⁿ (1)

Tilbageskrivning af en kapital K_n i n terminer: K_o = K_n · (1 + r)^{- n} , (2)

Når begyndelseskapitalen, K₀, og slutkapitalen, K_n, samt terminsantallet, n, er kendte kan den effektive rente pr. termin, r, bestemmes af formlen:
– 1 (3)
Når begyndelseskapitalen, K₀, og slutkapitalen, K_n, samt renten pr. termin, r, er kendte kan terminsantallet, n, bestemmes af formlen:
ln K_n – ln K₀


n = (4)

ln (1 + r)

Ved skiftende rente pr. termin over n terminer vil en kapital K₀ blive forrentet til K_n på føl-gende måde:

K_n = K₀ · (1 + r₁) · (1 + r₂) · (1 + r₃) · (1 + r₄) · ……… · (1 + r_n)



K_n = K₀ · (1 + r_gns)ⁿ

r_gns = ⁿ√(1 + r₁) · (1 + r₂) · (1 + r₃) · (1 + r₄) · ……… · (1 + r_n) – 1 (5)
2. Annuitet – renteberegning af en betalingsrække
Slutværdi og nutidsværdi
Ved en annuitet forstås en række af lige store betalinger, y (ydelser), der alle enten er ind-betalinger eller udbetalinger og finder sted med lige store tidsmellemrum. – Det følgende gælder for den efterbetalte annuitet, dvs. hvor ydelsen betales i slutningen af en termin.

En annuitet kan grafisk illustreres:

y y y y y
Antal terminer

0 1 2 3 4 - - - - - - - n

n betalinger (ydelser)

En annuitets kapitalværdi efter n ydelser (y) betegnes A_n (annuitetens slutværdi). – A_n udtrykker hvor meget man vil have sparet op efter n - 1 terminer ved en given rente r pr. termin *).

(1 + r)ⁿ – 1

A_n = y · (6)

r

En annuitets kapitalværdi opgjort en termin før betalingen af den første ydelse betegnes A_o (annuitetens slutværdi). – A_o udtrykker hvor stort et lån, man kan forrente og afdrage (amortisere) over n terminer (n ydelser) ved en given rente pr. termin, idet første ydelse betales en termin efter lånets stiftelse.

1 – (1 + r)^{- n}

A_o = y · (7)

r

n terminer

A_o A_n


y y y y y

0 1 2 3 4 - - - - - - - n Antal terminer

n – 1 terminer, men n betalinger (ydelser)
A_o = A_n · (1 + r)^{- n}, A_n = A_o · (1 + r)ⁿ (8) / (9)
*) NB! Ved frem- og tilbageføring over tid af en kapital K står n for antal renteterminer, dvs. i formlerne (1) – (5).

I formlerne for annuiteter står n også for antal renteterminer, men opgøres vha. antal betalinger.

Opsparing

For at kunne opspare kapitalen A_n, når givet:

a) Tidsrum: n terminer A_n

 ydelse: y =

Rentefod: r (1 + r)ⁿ - 1

r
b) Ydelse: y (1 + r)ⁿ - 1 A_n

 løbetid, n: = n bestemmes

Rentefod: r r y vha. tabel ¹)

c) Ydelse: y (1 + r)ⁿ - 1 A_n

 rente, r: = r bestemmes

Tidsrum: n terminer r y vha. tabel ³)

Lån

For at kunne forrente og afdrage et lån A_o, når givet:

a) Tidsrum: n terminer A_o


 ydelse: y =

Rentefod: r 1 - (1 + r)^{- n}

r
b) Ydelse: y 1 - (1 + r)^{- n} A_o

 løbetid, n: = n bestemmes

Rentefod: r r y vha. tabel ²)

c) Ydelse: y 1 - (1 + r)^{- n} A_o

 rente, r: = r bestemmes

Tidsrum: n terminer r y vha. tabel ³)

Ved beregning:

· r + 1

A_n

log

³) r bestemmes lettest v.h.a. en "finansregner" eller
annuitetstabel. – Med en almindelig regnemaski-
ne må man prøve sig frem.

y

¹
) n =

log (1 + r)

· r

1 –
A₀

log

y

²
) n = –

log (1 + r)

Notat 1.11: Renteberegning og annuiteter: 6. november 2006 / Flemming Schjøtt ©