Sirt integrallari

2.3.2. Birinchi tur sirt integralini hisoblash

Birinchi tur sirt integrali ikki karrali integralga keltirib hisoblanadi.

sirt tenglama bilan berilgan bo’lib, bu sirtning tekislikdagi proyeksiyasi bir o’lchamli bo’lsin, ya’ni o’qqa parallel har qanday to’g’ri chiziq sirtni faqat bitta nuqtada kessin. sohada funksiya o’zining xususiy hosilalari bilan birgalikda uzluksiz bo’lsin. sirtning
bo’laklariga proyeksiyada bo’laklar mos kelsin (1-shakl).
sirtning nuqtasida sirtga urinma tekislik o’tkazamiz, bunda . U holda, nuqtaga o’tkazilgan normal vektor bilan aniqlanadi. vektor bilan o’q orasidagi
burchakni bilan belgilaymiz. U holda
, (2.53)
bu yerda , chunki o’tkir burchak.
nuqtaga o’tkazilgan urinma tekislikning ga proyeksiyalanadigan qismi bo’lsin. U holda
.
Barcha yuzalarni yig’ib, urinma tekislik bo’laklari tashkil qilgan “tangasimon” yuzalardan iborat bo’lgan sirt yuzasini topamiz:
(2.54)
Bu yig’indini sirt yuzasiga taqriban teng deb hisoblash mumkin. sirt yuzasining aniq qiymati uchun (2.54) yig’indining dagi limiti
olinadi, ya’ni
.
Bundan
. (2.55)
(2.55) integralga o’rta qiymat haqidagi teoremani qo’llaymiz:
.
ni (2.50) ifodaga qo’yib, topamiz:
.
Tenglikning har ikkala tomonida da limitiga o’tilsa, ushbu
(2.56)
birinchi tur sirt integralini hisoblash formulasi kelib chiqadi.
1 -misol. tekislikning tekisliklar bilan chegaralangan qismining (22-shakl) yuzasini toping.
Y e c h i s h. dan .Sirt yuzasini
(2.51) formula bilan (2.55) tenglikdan foydalanib topamiz:

2-misol. integralni toping, bu yerda konus sirtning va tekisliklar orasidagi bo’lagi.
Y e c h i s h. Shartga ko’ra: soha doiradan iborat.
Bundan U holda