Sirt integrallari

2.3.5. Stoks va OstrOgradskiy-GAUSS formulalari

Sirt integrallarini egri chiziqli integral va karrali integral bilan bog’lovchi teoremalarni isbotsiz keltiramiz.

Oriyentirlangan sirt tenglama bilan berilgan, ya’ni

bo’lsin, bu yerda sirtning tekislikdagi proyeksiyasi. sirt bo’lakli
silliq chiziq bilan chegaralangan bo’lib, bu sirtda funksiyalar o’zlarining birinchi tartibli xususiy hosilalari bilan birgalikda uzluksiz bo’lsin.
1-teorema. Agar yuqorida keltirilgan shartlar bajarilsa, u holda ushbu

(2.65)
tenglik o’rinli bo’ladi.
Bu tenglikka Stoks formulasi deyiladi. Stoks formulasi sirt bo’yicha olingan ikkinchi tur sirt integrali bilan shu sirtning chegarasi bo’yicha olingan egri chiziqli integralni bog’laydi.
Xususan, agar soha kontur bilan chegaralangan tekislik sohasi bo’lsa,
u holda va bo’yicha integrallar nolga teng bo’ladi va Stoks formulasi Grin formulasiga aylanadi.
fazoda quyidan tenglamasi bo’lgan silliq sirt bilan, yuqoridadan tenglamasi bo’lgan silliq sirt bilan yon tomondan yasovchilari o’qqa parallel bo’lgan silindrik sirt bilan chegaralangan jism berilgan bo’lib, bu jismning tekislikdagi proyeksiyani sohadan iborat bo’lsin.
jismda funksiyalar o’zlarining birinchi tartibli
xususiy hosilalari bilan birgalikda uzluksiz bo’lsin.
2-teorema. Agar yuqorida keltirilgan shartlar bajarilsa, u holda ushbu
(2.66)
tenglik o’rinli bo’ladi, bu yerda jismni chegaralovchi yopiq silliq sirt.
Bu tenglikka Ostrogradskiy-Gauss formulasi deyiladi. Bu formula sirt bo’yicha olingan ikkinchi tur sirt integrali bilan shu sirt bilan chegaralangan soha bo’yicha olingan uch karrali integralni bog’laydi.
(2.66) formulani boshqacha quyidagicha yozish mumkin:
. (2.67)
5-misol. integralni
hisoblang, bu yerda tekisliklar bilan chegaralangan piramidaning tashqi tomoni (26-shakl).
Y e c h i s h. Integralni Ostrogradskiy-Gauss
formulasi bilan hisoblaymiz: