Sirt integrallari

2.3. SIRT INTEGRALLARI


2.3.1. Birinchi tur sirt integraLi

Birinchi tur egri chiziqli integrallar aniq integralning umumlashmasi bo’lgani kabi birinchi tur sirt integrallari ham ikki karrali integralning umumlashmasi bo’ladi.

B o’lakli silliq kontur bilan chegaralangan ikki tomonli silliq (yoki bo’lakli silliq) sirtda funksiya aniqlangan va uzluksiz bo’lsin.
sirtni ixtiyoriy ravishda o’tkazilgan egri chiziqlar to’ri bilan yuzalari bo’lgan ta bo’lakka bo’lamiz (21-shakl). Har bir bo’lakda nuqtani tanlab, bu nuqtada funksiyaning qiymatini hisoblaymiz va uni ga ko’paytirib, barcha shunday ko’paytmalarning yig’indisini tuzamiz:
(2.50)
Bu yig’indiga funksiya uchun sirt bo’yicha integral yig’indi deyiladi.
yuza chegaraviy nuqtalari orasidagi masofalarning (vatarlarning) eng kattasiga shu yuzaning diametri deyiladi va bilan belgilanadi, bunda da .
1-ta’rif. Agar (2.50) integral yig’indining dagi chekli limiti sirtni bo’laklarga bo’lish usuliga va bu bo’laklarda nuqtani tanlash usuliga bog’liq bo’lmagan holda mavjud bo’lsa, u holda bu limitga funksiyaning birinchi tur sirt integrali (yoki sirt yuzasi bo’yicha integrali) deyiladi va bilan belgilanadi.

Shunday qilib,

.
Birinchi tur sirt integrali uchun ham karrali integrallardagidek mavjudlik teoremasi isbotlangan.
Birinchi tur sirt integrallari uchun quyidagi ifodalar o’rinli bo’ladi:
(2.51)
bu yerda sirt yuzasi (birinchi tur sirt integralining geometrik ma’nosi);
(2.52)
bu yerda sirtning sirtiy zichligi, sirt massasi (birinchi tur sirt integralining mexanik ma’nosi).
yuza sirtning har ikki tomoni uchun bir xil qiymatga ega. Shuning uchun birinchi tur sirt integrali sirt tomonini tanlashga bog’liq bo’lmaydi.
Birinchi tur sirt integrali ta’rifi ikki karrali integral ta’rifiga o’xshash. Shu sababli bu integral ikki karrali integral bo’ysunadigan xossalarga bo’ysunadi.