Toshkent axborot texnologiyalari universiteti qarshi filiali

TOSHKENT AXBOROT TEXNOLOGIYALARI UNIVERSITETI QARSHI FILIALI

KI fakulteti DI-11-15 guruh talabasi Olimov A tomonidan

“Oliy matematika” fanidan tayyorlagan

MAVZU: Boshlang‘ich funksiya va aniqmas integral. Aniqmas integralning asosiy xossalari

Rahbar: “TABIIY VA UMUMKASBIY FANLAR” kafedrasi o‘qituvchisi

Ro’zimurodov Ixtiyor Nishonovich

Qarshi - 2016

Boshlang‘ich funksiya va aniqmas integral. Aniqmas integralning asosiy xossalari

Reja:

1. 
   Boshlang‘ich funksiya va aniqmas integral tushunchalari
   

2. Aniqmas integralning asosiy xossalari

3. 
   Aniqmas integrallar jadvali
   

Boshlang‘ich funksiya va aniqmas integral tushunchalari

Aytaylik, f(x) funksiya biror (a, b) (chekli yoki cheksiz) intervalda aniqlangan boisin

Agar (a, b) intervalda f(x) funksiya (f(x)dx ifoda) shu intervalda differensiallanuvchi F (x) funksiyaning hosilasiga (differensialiga) teng boisa, ya’ni ushbu
F'(x)=f(x) (dF(x)=fix)dx), xє(a,b)

tenglik o ‘rinli bo’lsa , u holda F(x) funksiya (a, b ) intervalda f(x) funksiyaning boshlangich funksiyasi deyiladi.

Masalan,
^f ^x^{x2 funksiyaning boshlang‘ich funksiyasi
F}^x^{ x}3



3
bo‘ladi, chunki

 ₃ 
^F^x^{ x}3 ^{ x2  f} ^x^{, shuningdek,}

 

^f ^x^cosx

funksiyaning boshlang‘ich

funksiyasi ko‘ra

^F^x^{sinx bo‘ladi, chunki
F}^x^^sinx^{ cosx f} ^x^{. (1) munosabatga}

_F_x_c_^ F^_x_0F^_x_ f (x)
bo‘ladi, bunda c-ixtiyoriy o‘zgarmas son.
(2)

Shunday qilib,


^F^x^c

funksiyalar ham f (x) ning boshlang‘ich funksiyalari bo‘ladi.

Demak,
f (x)
boshlang‘ich funksiyaga ega bo‘lsa, u cheksiz ko‘p

boshlang‘ich funksiyalarga ega bo‘lar ekan.

Ayni paytda,
f (x)
funksiya ixtiyoriy ikkita
F(x) va
(x)
boshlang‘ich

funksiyalarga ega, ya’ni


^F^x^{ f} ^x<sup>,


</sup>^x^{ f} ^x

bo‘lsa,


^^x^F^x^c ^cconst

bo‘ladi. Haqiqatan ham,

_^^x^F^x_^{ }^x^F^x^{ f} ^x^{ f} ^x^0

bo‘lib, Lagranj teoremasining natijasiga ko‘ra

^^x^F^x^c ^cconst

bo‘ladi va undan


^^x^F^x^c

bo‘lishi kelib chiqadi.

Natijada quyidagi xulosaga kelamiz:

holda

Agar
f (x)

^funksiya ^a,b

da boshlang‘ich funksiya

F(x)

ga ega bo‘lsa, u

1. 
   f (x) funksiya cheksiz ko‘p boshlang‘ich funksiyalarga ega,
   

2. 
   barcha boshlang‘ich funksiyalarning umumiy ifodasi
   

^F^x^c
^cconst
(3)

bo‘ladi, ya’ni ixtiyoriy boshlang‘ich funksiya shu ifodadan (o‘zgarmas c ga qiymat berish natijasida) kelib chiqadi.

Ta’rif. (3) ifoda
f (x) funksiyaning aniqmas integrali deyiladi va
_ ^f ^x^dx

kabi belgilanadi, bunda
f (x)


integral ostidagi funksiya,
^f ^x^{dx integral ostidagi}

ifoda,
_integral belgisi. Demak,

_ ^f ^x^dxF^x^c
^cconst
(4)

1-misol. Ushbu
_5x⁵dx
integral topilsin.

◄Ta’rifga ko‘ra, bu integral shunday funksiyaki, uning hosilasi Ravshanki,

5x⁵ ga teng.

6
^F^x^{5x6 c} ^cconst

funksiya uchun

F^(x) (⁵x⁶ c)^  ⁵6x⁵ 05x⁵ 6 6

6
bo‘ladi. Demak,
_5x⁵dx⁵х⁶ с.►

Eslatma. Agar
f (x)
^funksiya ^a,b
da uzluksiz bo‘lsa, uning aniqmas

integrali mavjud bo‘ladi. (Bu tasdiq keyinroq isbotlanadi).

Ko‘pincha funksiyaning aniqmas integrali qaralganda uni qanday oraliqda bo‘lishi ko‘rsatilmaydi. Bunda funksiyaning aniqlanish sohasida qaralayapti, deb hisoblanadi.

Aniqmas integralning sodda xossalari

Aniqmas integral ta’rifidan uning quyidagi sodda xossalari kelib chiqadi:

1. 
   Ushbu
   

_ ^f ^x^{dx aniqmas integralning hosilasi}
_ ^f ^x^dx_^{  f} ^x^.
f (x) ga teng bo‘ladi.

2. 
   Funksiya differensialining aniqmas integrali shu funksiyaga teng bo‘ladi (o‘zgarmas son aniqligida)
   

Xususan,
_^dF^x^F^x^c
^cconst

bo‘ladi.
_dxxc

^cconst

3. 
   O‘zgarmas sonni integral belgisi tashqarisiga chiqarish mumkin.
   

_kf (x)dxk_ f (x)dx
(k const, k 0)
(5)

4. 
   Ikki funksiya yig‘indisining integrali bu funksiyalar integrallarining yig‘indisiga teng:
   

_f _x_g_x_dx_ f _x_dx_g_x_dx
(6)

Eslatma. Yuqoridagi (5), (6) tengliklarni o‘ng va chap tomonidagi ifodalar orasidagi ayirma o‘zgarmas songa barobarligi ma’nosidagi (o‘zgarmas son aniqligida) tengliklar deb qaraladi.
Ma’lumki, berilgan funksiyaning hosilasini topish uni differensiallash deyiladi. Berilgan funksiyaning aniqmas integralini topish esa uni integrallash deyiladi.
Yuqorida keltirilgan ma’lumotlardan funksiyani differensiallash va integrallash amallari o‘zaro teskari amallar ekanini payqash qiyin emas.

Ma’lumki,

bo‘lsa, unda

_ ^f ^x^dxF^x^c,
ya’ni


^F^x^{ f} ^x

_F_x_c_^ F^_x_ f _x_

bo‘ladi va aksincha bo‘ladi.

Aniqmas integrallar jadvali

Funksiya hosilalari jadvali hamda aniqmas integral ta’rifidan foydalanib, ba’zi funksiyalar aniqmas integrallarining jadvalini keltiramiz.

¹⁾ _^1dx_^{dxxc, chunki} ^хс^{ 1.}

2. 
   xⁿdx ^xn1 c
   

^n1^{, chunki  x}n1 ^{c xn.}

^ n1
^_n1 ^_

2. 
   
   x
   _x^1dx_^dx ln x c, chunki
   

x
x0 ^da
_^dx lnxc va
^{(lnxc) x1}.

x
x0 ^da
_^{dx ln}^x^{c va} ^{lnxc}^{ x1.}

4) _
a^x dx ^ax
lna
c, chunki ^_ ^ax
c^ a^x.

_lna




5. 
   _e^x dxe^x c, chunki _e^x c_^ e^x.
   
6. 
   _^{sinxdxcosxc, chunki} ^cosxc^{ sinx.}
   
7. 
   _^{cosxdxsinxc, chunki} ^sinxc^{ cosx.}
   
8. 
   ^{dx ctgxc, chunki} ^ctgxс^{  1 .}
   

^sin² x
sin² x

5. 
   ^{dx tgxc, chunki} ^tgxс^{  1 .}
   

^cos² x
cos² x

5. 
   _ ^{dx arcsinxc, chunki} ^arcsinxс^{  1}
   
6. 
   _ ^dx arccosxc, chunki
   

^{arccosxс}^{  1 .}

5. 
   
   x
   
   .
   _1^dx₂ ^{arctgxc, chunki} ^arctgxс^{ }
   

1


1x²

5. 
   
   x
   
   .
   _1^dx₂ ^{arcсtgxc, chunki} ^{arсctgxс}^{ }
   

1


1x²

5. 
   _^{shxdxchxc, chunki} ^chxc^{ shx.}
   
6. 
   _^{сhxdxshxc, chunki} ^shxc^{ chx.}
   

Yuqorida keltirilgan integrallar jadvali hamda integralning sodda xossalaridan foydalanib, aniqmas integrallarni hisoblashga doir misollar qaraymiz.

2-misol. _(3x² 2x7)dx_3x²dx_2xdx_7dx

3 2
3_x²dx2_xdx7_dx3 ^x3 2 ^x2 7xcx³ x² 7xc

3. misol.

x² x³ 1_{dx (} 1 _ 1 _ 1 _)dx



x^3dx


x^2dx

 _x⁵  _x³ _x² _x⁵  
_x5dx 1 _{x2 } 1 _{x1 } 1 _{x4 c} 2x² 4x³ 1_c


^ 2 1 4 4x⁴

3. misol.

_(5
x3⁵ x³ 

)dx _
 _  _ ^ 

3

1

1
5 x²dx
3 x⁵dx 2 x ²dx

_5 1

¹1 _{3 1}
31 2 ¹ x^1^1 c¹⁰
x³ ¹⁵⁵ x⁸ 4

xc

x
2

¹1

2
5

x
³1

5
2

¹1 ^{3 8}

2

3. misol.

tg²xdx
sin² x _dx

1cos² x_dx

( ¹ 1)dx

^{ }cos² x
^ cos² x
^ cos² x

 ²


 ¹ dx cos x
dxtgxxc.

adabiyotlar.

1. 
   Данко II.И, Попов А.Г. Кожевников Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах: В 2 ч. М. Высш. I I I К 1966. Ч 1-2.
   
2. 
   Романовский II. И Ряды Фурье. Теория поля. Аналитеческие и специалные функции. Преобразования Лапласа. М.: Наука, 1973 г.
   
3. 
   Гмурман В. Н. Эҳтимоллар назарияси ва математик статистика. Тoшкент, «Ўқитувчи», 1978
   
4. 
   Н.М.Жабборов, Е.О.Аликулов, Қ.С.Ахмедова Олий математика. 1-2- қисм . Қарши 2010
   
5. 
   Гнеденко В. Курс теории вероятностей и математической статистики. М., Высшая школа, 1981.
   

6. 
   Sirojiddinov S.X., Mamatov M. Ehtimollar nazariyasi kursi. T. О‘qituvchi, 1980.
   
7. 
   Беклимишсв Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М. Наука, 1964.
   
8. 
   Берман Г.Н Сборник задач по курсу математического анализа. М . Наука, 1965.
   
9. 
   Бугров Я.С Никольский С.М Элементы линейнойалгебры и аналитической геометрии. М. Наука, 1988.
   
10. 
    Бугров Я.С Никольский С.М Дифференциалные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Фурье. М. Наука 1961, 1985.
    
11. 
    Минорский В.И. Сборник задач по высшей математике. М: Наука, 1987. 12.Пискунья Н.С. Дифференциальное исчисления для втузов. М. Наука,
    

1985. Т. 1-2.
13.Чистяков В.П. Курс теории вероятностей. М.: Наука, 1982.