Yo`nalish bo`yicha hosila. Gradient

Yo`nalish bo`yicha hosila. Gradient.

Fizikada, mexanikadagi ko‘pgina masalalarda skalyar va vektor kattaliklar bilan ish ko‘rishga to‘g‘ri keladi.

Skalyar kattalik o‘zining son qiymati bilan to‘la ifodalanadi (masalan, hajm, massa, zichlik, harorat va hokazolar).
Ta’rif. Fazoning biror qismi (yoki butun fazoning) har bir nuqtasida biror skalyar miqdorning son qiymatianiqlangan bo‘lsa, bu miqdorning skalyar maydoni berilgan deyiladi. Masalan, harorat maydoni, birjinslimas muhitda zichlik maydoni, kuch maydon potensiali.
Agar kattalik vaqtga bog‘liq bo‘lmasa, bu kattalik statsionar (yoki barqaror bo‘lmagan) maydon deyiladi. Biz faqat statsionar maydonlarni qarab chiqamiz. Shunday qilib, skalyar kattalik vaqtga bog‘liq bo‘lmasdan, balki faqat nuqtaning fazodagi o‘rniga bog‘liq bo‘ladi, ya’ni kattalik nuqtaning fazodagi funksiyasi sifatida qaraladi va ko‘rinishda belgilanadi. Bu funksiyani maydon funksiyasi deb ataymiz.
Agar fazoda zkoordinatalar sistemasini kiritsak, u holda har bir nuqta ma’lum koordinatalarga ega bo‘ladi va skalyar funksiya shu koordinatalarning funksiyasi bo‘ladi:
)
Shunday qilib, biz uch o‘zgaruvchili funksiyaning fizik talqiniga keldik.
Tekislikning qismida (yoki butun tekislikda) aniqlanadigan skalyar maydonni ham qarab chiqish mumkin, uning har bir nuqtasiga skalyar kattalikning son qiymati mos keladi, ya’ni .
Agar tekislikning koordinatalar sistemasi kiritilsa, u holda har bir nuqta ma’lum koordinatalarga ega bo‘ladi va skalyar funksiya shu koordinatalarning funksiyasi bo‘ladi:
.
Skalyar maydonlarning xossalarini sath sirtlari yoki sath chiziqlari yordamida o‘rganish mumkin, ular shu maydonlarning geometrik tasviri hisoblanadi.

1. 
   Sath sirtlari.
   

Ta’rif. Skalyar maydonning sath sirti deb fazoning shunday nuqtalari to‘plamiga aytiladiki, unda maydon funksiyasi o‘zgarmas qiymatga ega bo‘ladi.
Bu sirtlar

tenglama bilan aniqlanishi ravshan, bunda -o‘zgarmas son.
ga turli qiymatlar berib, sath sirtlari oilasini hosil qilamiz. Bu sirtlarda skalyar funksiya o‘zgarmas bo‘lib qoladi.
Agar, masalan, maydon

funksiya bilan ifodalangan bo‘lsa, u holda markazi koordinatalar boshida bo‘lgan

sfera sath sirti vazifasini bajaradi.