Yuqori tartibli hosilalar yordamida funksiyani ekstremumga tekshirish Reja

Misol. funksiyaning [ ;100] kesmada eng katta va eng kichik qiymatlarini toping.
Yechish. Funksiya hosilasini topamiz: f’(x)= . Uni nolga tenglab, ya’ni =0 tenglamani qarab x=-1 va x=1 ekanligini topamiz. Bulardan x=-1 nuqta [ ;100] kesmaga tegishli emas va bu kesmada hosila mavjud bo‘lmagan nuqta yo‘q. Faqat bitta x=1 statsionar nuqta [ ;100] kesmaga tegishli. Berilgan funksiyaning x= x=1; x=100 nuqtalaridagi qiymatlarini hisoblaymiz. f(1/100)=100,01; f(1)=2; f(100)=100,01. Bu qiymatlarning eng kattasi 100, 01; eng kichigi 2.
Demak, berilgan funksiyaning [ ;100] dagi eng katta qiymati 100,01, eng kichik qiymati esa 2 dir, ya’ni {f(x)}=100,01; {f(x)}=2.
Mavzu bo’yicha takrorlash savollari
1. Ikkinchi tartibli hosila yordamida ekstremum qanday izlanadi?
2. Yuqori tartibli hosila yordamida ekstremum qanday izlanadi?
3. Kesmada uzluksiz funksiyaning eng katta va eng kichik qiymatlari qanday izlanadi?
4. Qanday holda kesmada berilgan funksiyaning minimumi uning shu kesmadagi eng kichik qiymati bo‘ladi deb ta’kidlash mumkin?
5. Qanday holda kesmada berilgan funksiyaning maksimumi uning shu kesmadagi eng katta qiymati bo‘ladi deb ta’kidlash mumkin?
Misollar
1. Quyidagi funksiyalarni ekstremumga tekshiring. a) y=x³-6x; b) y=(x-2)²(x-3)³; c) y=x/(x²+1); d) y=sin2x-x;e) y=x²e^-x; f) y=sinx+cosx; g) y=ln(x²+2x-3); h) y=cos⁴x+sin⁴x.
2. Berilgan funksiyaning ko‘rsatilgan kesmadagi eng katta va eng kichik qiymatlarini toping. a) y=x³/(x²-2x-1), [4;6]; b) y=lnx/x, [1;4];
c) y=e^-xx³, [-1;4].
3. Berilgan aylanaga ichki chizilgan teng yonli uchburchaklar ichida teng tomonli uchburchak eng katta perimetriga ega ekanligini ko‘rsating.
4. M(1,2) nuqta berilgan. Bu nuqtadan shunday to‘g‘ri chiziq o‘tkazingki, u birinchi chorakda a) eng kichik yuzli uchburchak; v) eng kichik uzunlikli kesma ajratsin.