Aniq integralning tatbiqlari. Yassi shakllarining yuzasi. Egri chiziq yoyi uzunligi. Hajmlarni hisoblash. Reja

Mavzu: Aniq integralning tatbiqlari. Yassi shakllarining yuzasi. Egri chiziq yoyi uzunligi. Hajmlarni hisoblash.
Reja

1. 
   Aniq integralning tatbiqlari.
   
2. 
   Yassi shakllarning yuzasi.
   
3. 
   Egri chiziq yoyi uzunligi.
   

1. 
   Aniq integralning tatbiqlari.
   

Aniq integral - matematik analizning eng muhim tushunchalaridan biridir. Egri chiziq bilan chegaralangan yuzalarni, egri chiziqli yoylar uzunliklarini, hajmlarni, bajarilgan ishlarni, yo’llarni, inersiya momentlarini va hokazolarni hisoblash masalasi shu tushuncha bilan bog’liq.
Biror o’zgarmas tezlik bilan to’gri chiziq bo’ylab tekis harakat qilayotgan moddiy nuqtaning vaqt oralig’ida bosib o’tgan masofasi formula bilan hisoblanadi.
Tezligi har bir vaqtda o’zgaruvchan va funksiya bilan aniqlanadigan notekis harakatda moddiy nuqtaning vaqt oralig’ida bosib o’tgan masofasi
Ma’lumki, inersiya momenti tushunchasi mexanikaning muhim tushunchalaridan biri hisoblanadi. Tekislikda massaga ega bo’lgan moddiy nuqta berilgan bo’lib, bu nuqtadan biror o’qqacha ( yoki nuqtagacha) bo’lgan masofa ga teng bo’lsin. U holda miqdor moddiy nuqtaning o’qga ( nuqtaga) nisbatan inersiya momenti deb ataladi.
Masalan, tekislikdagi massaga ega bo’lgan moddiy nuqtaning koordinata o’qlariga hamda koordinata boshiga nisbatan inersiya momentlari mos ravishda
Masalan, tekislikda har biri mos ravishda massaga ega bo’lgan, moddiy nuqtalar sistemasining koordinata o’qlariga hamda koordinata boshiga nisbatan inersiya momentlari mos ravishda Egri chiziq yoyining uzunligi.
3.1. Dekart koordinatalar sistemasida egri chiziq yoyining uzunligi hisoblash.
Tekislikda to’g’ri burchakli koordinatalar sistemasida egri chiziq tenglama bilan berilgan bo’lsin. B u egri chiziqning x=a va x=b vertical to’g’ri chiziqlar orasidagi AV yoyining uzunligini topamiz AB yoyda abstsissalari bo’lgan A, M₁, M₂,…,M_i,…B nuqtalarni olamiz va AM_1, M₁M₂,…M_n-1 B vatarlarni o’tkazamiz, ularning uzunliklarini mos ravishda bilan belgilaymiz.
AB yoy ichiga chizilgan aniq chiziqning uzunligi bo’lgani uchun AB yoyning uzunligibo’ladi.
Faraz qilaylik, funksiya va uning hosilasi [a, b] kesmada uzluksiz bo’lsin.
U holda Yoki Lagranj teoremasiga asosan bunda bo’lgani uchunbo’ladiIchki chizilgan siniq chiziqning uzunligi esa bo’ladi Shartga ko’ra funksiya uzluksiz. Demak, funksiya ham uzluksizdir. Shuning uchun integral yig’indining limiti mavjud va u qo’yidagi aniq integralga teng.
integral yig’indining kesmaning qismiy kesmalarga bo’linish usuliga va ularda nuqtalarning tanlanishiga bog’liq bo’lmagan dagi chekli limiti mavjud bo’lsa, bu limitga funksiyaning kesmadagi aniq integrali deyiladi va

simvol bilan belgilanadi. Kattaligi o’zgaruvchan va funksiya bilan aniqlanadigan kuch moddiy nuqtani kesma bo’yicha harakatlantirganda bajarilgan ish

formula bilan hisoblanadi.