Aniq integralning tatbiqlari. Yassi shakllarining yuzasi. Egri chiziq yoyi uzunligi. Hajmlarni hisoblash. Reja

Yassi shakllarning yuzasi.

Ta’rifning geometrik ma’nosi shundan iboratki, coha chapdan va o’ngdan, mos ravishda, to’g’ri chiziqlar kesmalari bilan ( bu kesmalar nuqtalarga aylanish ham mumkin) chegaralangan; funksiyaning grafigi coha ning yuqori chegarasidan, funksiyaning grafigi esa, uning qo’yi chegarasidan iborat (2.1-chizma).
2.3-ta’rif. Koordinatalari, kesmada uzluksiz va funksiyalar uchun, munosabatlarni qanoatlantiradigan nuqtalar to’plami o’qqa nisbatan standart soha deyiladi.
Ta’rifning geometrik ma’nosi shundan iboratki, coha yuqoridan va pastdan, mos ravishda, to’g’ri chiziqlar kesmalari ( bu kesmalar nuqtalarga aylanish ham mumkin) bilan, chapdan va o’ngdan mos ravishda va funksiyalarning grafiklari bilan chegaralangandir (2.2-chizma).
O’qlarga nisbatan standart sohalarning yuzalarini hisoblash formulalari:
1. o’qqa nisbatan standart coha- ning yuzi

formula bo’yicha hisoblanadi.
2. o’qqa nisbatan standart coha- ning yuzi

formula bo’yicha hisoblanadi.
Bizga biror J jism berilgan bo‘lib, uni OX o‘qiga pеrpеndikular tekisliklar bilan kesganimizda hosil bo‘ladigan kеsimlarning yuzasi ma’lum va bu yuza biror uzluksiz S(x), x[a,b], funksiya orqali ifodalansin. Bu holda J jismning V hajmini topish masalasini qaraymiz. Buning uchun [а,b] kesmani
а=х₀ <х₁<х₂< ∙∙∙<х_i-1<х_i< ∙∙∙<x_n=b
nuqtalar bilan ixtiyoriy n bo‘lakka ajratamiz va bu nuqtalar orqali OX o‘qiga pеrpеndikular tekisliklar o‘tkazamiz. Bu tеkisliklar jismni J_i (i=1, 2, ∙∙∙, n) qatlamlarga ajratadi. Bu qatlamlarning hajmlarini V_i (i=1, 2, ∙∙∙, n) deb belgilasak, unda izlangan V hajmni V=V₁+V₂+∙∙∙+V_n yig‘indi ko‘rinishida yozish mumkin. Yuqorida ko‘rsatilgan x_i bo‘linish nuqtalari orqali hosil qilingan har bir [x_i–1, x_i] kesmachalardan (i=1, 2, ∙∙∙, n) ixtiyoriy bir ξ_i nuqtalarni tanlab olamiz. Endi J_i (i=1, 2, ∙∙∙, n) qatlamlarning har birini balandligi x_i =x_i–x_i–1, asosining yuzasi esa S(_i) bo‘lgan silindrik jismlar bilan almashtiramiz. Bu holda V_i S(_i)x_i taqribiy tenglik o‘rinli ekanligini nazarga olsak, yuqoridagi yig‘indidan

taqribiy natijaga ega bo‘lamiz. Bu taqribiy tenglikda bo‘laklar soni n qanchalik katta va qanchalik kichik bo‘lsa, V_n yig‘indi izlanayotgan V hajm qiymatiga shunchalik yaqin bo‘ladi deb olish mumkin. Shu sababli J jismning hajmi V yuqoridagi V_n yig‘indilar ketma-ketligining n→∞, Δ_n→0 bo‘lgandagi limiti deb olinadi. Unda V_n yig‘indi S(x) funksiya uchun [a,b] kesma bo‘yicha integral yig‘indi ekanligini hisobga olib va aniq integral ta’rifidan foydalanib, berilgan J jismning V hajmini uning ko‘ndalang kesimi yuzasi S(x) bo‘yicha hisoblash uchun quyidagi formulaga ega bo‘lamiz:
. (8)

3.