O’zbekiston respublikasi oliy ta’lim, fan va innovatsiyalar vazirligi

O’ZBEKISTON RESPUBLIKASI OLIY TA’LIM, FAN VA INNOVATSIYALAR VAZIRLIGI

URGANCH DAVLAT UNIVERSITETI FIZIKA-MATEMATIKA FAKULTETI MATEMATIKA YO`NALISHI 201- GURUH TALABASI RAHIMOVA MASHHURANING MATEMATIK FIZIKA TENGLAMALARI FANIDAN

MAVZU: LAPLAS TENGLAMASI UCHUN DIRIXLE VA NEYMAN MASALALARINI QO’YILISHI VA YECHIMNING YAGONALIGI

Topshirdi: Rahimova Mashhura

Qabul qildi: Baltayeva Umida

Urganch Davlat Universiteti Fizika-Matematika fakulteti Matematika yo’nalishi 201- guruh talabasi Rahimova Mashhuraning “Matematik fizika tenglamalari” fanidan “Laplas tenglamasi uchun Dirixle va Neyman masalalarini qo’yilishi va yechimning yagonaligi ” mavzusidagi kurs ishiga

TAQRIZ

Talaba Rahimova Mashhuraning kurs ishi “ Laplas tenglamasi uchun Dirixle va Neyman masalalarini qo’yilishi va yechimning yagonaligi”

mavzusini o‘rganishga bag‘ishlangan.
Talabaning kurs ishi reja asosida adabiyotlardan foydalanilgan holda tahlil qilinib chiqilgan va grammatik xatolarsiz, yuqori saviyada yozilgan. Ish yakunida muallif tomonidan aniq xulosalar keltirilgan bo‘lib, ular olib borilgan aniq tahlillar natijasidir.
Mazkur kurs ishida yana mavzuga doir misollar keltirilgan bo’lib, kurs ishini bajarishda talaba Rahimova Mashhuraning nazariy tadqiqotlar olib borishda qobiliyatga ega ekanligini ko‘rsatdi va shuning uchun uning ishini “ ” bahoga loyiq deb o‘ylayman.

Ilmiy rahbar: Baltayeva Umida

Urganch Davlat Universiteti Fizika-Matematika fakulteti Matematika yo’nalishi 201- guruh talabasi Rahimova Mashhuraning “Matematik fizika tenglamalari” fanidan “Laplas tenglamasi uchun Dirixle va Neyman masalalarini qo’yilishi va yechimning yagonaligi ” mavzusidagi kurs ishiga

TAQRIZ

Talaba Rahimova Mashhuraning kurs ishi “ Laplas tenglamasi uchun Dirixle va Neyman masalalarini qo’yilishi va yechimning yagonaligi
mavzusini o‘rganishga bag‘ishlangan.
Talabaning kurs ishi reja asosida adabiyotlardan foydalanilgan xolda tahlil qilinib chiqilgan va grammatik xatolarsiz, yuqori saviyada yozilgan. Ish yakunida muallif tomonidan aniq xulosalar keltirilgan bo‘lib, ular olib borilgan aniq tahlillar natijasidir.
Mazkur kurs ishida yana mavzuga doir misollar keltirilgan bo’lib, kurs ishini bajarishda talaba Rahimova Mashhuraning nazariy tadqiqotlar olib borishda qobiliyatga ega ekanligini ko‘rsatdi va shuning uchun uning ishini “ ” bahoga loyiq deb o‘ylayman.

Ilmiy rahbar:

MAVZU: LAPLAS TENGLAMASI UCHUN DIRIXLE VA NEYMAN MASALALARINI QO’YILISHI VA YECHIMNING YAGONALIGI.

REJA:

I.KIRISH.
II.ASOSIY QISM.
1.Statsionar issiqlik o’tkazuvchanlik tenglamasi: Laplas va Puasson
tenglamalari
2.Elliptik tipdagi tenglamalar
3.Dirixle va Neyman masalalarining qo’yilishi hamda ular
yechimlarining yagonaligi
III.XULOSA.
IV.FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR.

Matematik fizika tenglamalari fani klassik mexanika, fizika, gidrodinamika, akustika va boshqa sohalarda sodir bo'ladigan jarayonlarning matematik modellarini yaratish va bu masalalarni yechish usullarini qurish bilan uzviy bog'liq. Bu modellashtirish muayyan jarayonlarni ifodalovchi fizikaviy kattaliklar asosida tenglamalarni keltirib chiqarish bilan xarakterlanadi. Kvant mexanikasi, atom va yadro fizikasi, qattiq jismlar nazariyasi, elementar zarralar fizikasi kabi sohalarning rivojlanishi matematik tadqiqotlarning asosini tashkil etadi. Mexanika va fizikaning ko'plab masalalari xususiy hosilali differensial tenglamalami tadqiq etishga keladi. Shuning uchun xususiy hosilali differensial tenglamalar fani matematik fizikaning zamonaviy holatini o'rganish va tushunish uchun zarur bo'lgan boshlang’ich bilimlarni beradi. Matematik fizika tenglamalari faniga bag'ishlangan darsliklar, o‘quv qo’llanmalar ingliz, rus va boshqa tillarda ko‘plab nashr qilingan. Bu adabiyotlarning nazariy qismi bilan misol va masalalarga oid bo'limlari orasida biroz tafovut borligi seziladi. Hozirgi davr talabiga javob beradigan yuqori malakali mutaxassislar tayyorlash, ularning nazariy va amaliy masalalarni chuqur o'zlashtirishiga ko‘maklashuvchi o'zbek tilida yozilgan darsliklar, o‘quv qo'llanmalar yaratish muhim ahamiyatga ega. Fizikaviy jarayonlarning matematik modelini tadqiq etish xususiy hosilali differensial tenglamalar kursining asosiy qismini tashkil qiladi. Matematik fizika tenglamalari kursi oddiy differensial tenglamalar fanining bevosita davomi hisoblanadi. Uni mukammal tushunib, o'zlashtirishlari uchun oddiy differensial tenglamalar fanidan ma’lum bilimlar talab qilinadi. Matematik fizikaning ayrim masalalari ikkinchi tartibli xususiy hosilali differensial tenglamalar orqali ifodalanadi.Xususiy hosilali differensial tenglamalarni qaysi tipga tegishli bo‘lishi uning yuqori tartibli hosilalari oldidagi koeffitsiyentlari orqali aniqlanadi. Mexanika va fizikaning tebranish jarayonlari bilan bog'liq bir qator muammolari, masalan, tor va membrananing tebranishi, gaz, elektromexanik to'lqinlarning tarqalishi kabi jarayonlar giperbolik tipdagi tenglamalar orqali ifodalanadi, Bunday tenglamalar bilan ifodalanuvchi jarayonlarining o‘ziga xos tomoni, tebranishlarning chekli tezlikda tarqalishidir.

Ushbu kurs ishimning kirish qismida dastlabki tushunchalarni keltirib o’tganman. Asosiy qismning 1-bandi: statsionar issiqlik o’tkazuvchanlik tenglamasi: Laplas va Puasson tenglamalari 2-bandi: elliptik tipdagi tenglamalar 3-bandi: Dirixle va Neyman masalalarining qo’yilishi hamda ular yechimlarining yagonaligi 4-bandida esa doirada Dirixle masalasi keltirilgan. Xulosa qismida kurs ishini yozish davomidagi xulosalarim, foydalangan adabiyotlar qismida kurs ishini yozish davomida foydalangan manbalarim keltirilgan.

II. 1) Statsionar issiqlik o’tkazuvchanlik tenglamasi: Laplas va Puassan tenglamalari

Sterjenda issiqlik tarqalishi jarayonini qaraymiz. o‘qni sterjen bo‘ylab yo‘naltiramiz va orqali nuqtaning vaqtdagi haroratini belgilaymiz. Faraz qilaylik, sterjenning harorati va koordinatalarga bog‘liq bo‘lmasin. Bu esa har bir tayin vaqtda sterjenning izotermik kesimi uning ko‘ndalang kesimi bilan ustma-ust tushishini va barcha ko‘ndalang kesimlari bir xil yuzaga ega bo‘lishini bildiradi.
Haroratning o‘zgarishi faqat issiqlik tarqalishi natijasida ro‘y bersa, energiyaning saqlanish qonuniga asosan sterjenning oraliqdagi qismining vaqt mobaynida haroratini o‘zgartirishga sarflangan issiqlik energiyasi sterjenning qismi uchlari orqali olgan issiqlik miqdoriga teng bo‘ladi. Bu faqat ajratilgan qismning va uchlari orqali o‘tgan issiqlik oqimi issiqlik o‘zgarishini aniqlashni bildiradi. Sterjenning koordinatali kesimi orqali issiqlik oqimi birlik vaqt mobaynida bo‘ylab bu kesim orqali o‘tuvchi issiqlik miqdoriga teng.
Issiqlik oqimining zichligi ( nuqtada) deb, ko‘ndalang kesimning birlik yuzasi orqali o‘tuvchi oqimga aytiladi. Ravshanki, issiqlik sterjenning yuqori haroratli qismidan past haroratli qismiga uzatiladi. Bu fakt va u miqdorlarni bog‘lovchi quyidagi Furye qonuni bilan ifodalanadi:

Bu yerda issiqlik o‘tkazuvchanlik koeffitsienti bo‘lib, u sterjen materiali xossalariga bog‘liq. kesma orqali vaqtda o‘tuvchi issiqlik oqimi

ga teng. Faraz qilaylik, sterjenning solishtirma issiqlik sig‘imi (birlik massaga ega bo‘lgan jismning issiqlik sig‘imi) , chiziqli zichligi va issiqlik o‘tkazuvchanlik koeffitsienti bo‘lsin,
.
U holda kesma va vaqt oralig‘i uchun issiqlik muvozanati tenglamasi:

(1)
ko‘rinishida bo‘ladi .
funksiya uzluksiz va hosilalarga ega bo‘lsin. (1) tenglamaning chap va o‘ng tomonlarini ga bo‘lamiz. Hosil bo‘lgan ifodalarga integral ko‘rinishdagi o‘rta qiymat haqidagi teoremani qo‘llab, larni ga va larni esa ga intiltiramiz. Natijada issiqlik muvozanati tenglamasi

ko‘rinishda yoziladi.
Bu differensial tenglamaga issiqlik o‘tkazuvchanlik tenglamasi deyiladi. Issiqlik o‘tkazuvchanlik tenglamasi uchun shunday qo‘shimcha shartlarni tanlash mumkinki, bunda harorat vaqtga bog‘liq bo‘lmay qoladi: . Bunday issiqlik tarqalish jarayoni statsionar deyiladi. Agar issiqlik o‘tkazuvchanlik koeffitsienti bo‘lsa, u holda statsionar harorat
(2)
tenglamani qanoatlantiradi. (2) tenglamaga Puassan tenglamasi deyiladi.
Agarda sohada issiqlik manbalari bo‘lmasa, statsionar harorat da
(3)
tenglamani qanoatlantiradi. (3) tenglamaga Laplas tenglamasi deyiladi. Nostatsionar issiqlik o‘tkazuvchanlik va diffuziya tenglamalari, Laplas va Puassan tenglamalarini sohaning aniq shakliga bog‘liq ravishda maxsus tanlangan koordinatalar sistemasida yozish qulaydir. Masalan, agar to‘g‘ri burchakli parallelepiped ko‘rinishida bo‘lsa, u holda tabiiyki, bu tenglamalar uchun qo‘yilgan masalalarni dekart koordinatalar sistemasida tanlagan ma‘qul. Shardan iborat soha uchun sferik koordinatalar sistemasi qulay hisoblanadi.
Ba‘zi hollarda harorat fazoviy koordinatalardan biriga bog‘liq bo‘lmay qolishi mumkin. Masalan, dekart koordinatalar sistemasida bunday koordinata sifatida ni olaylik, ya’ni bo‘lsin. U holda sifatida tekislikka tegishli soha qaraladi. Bunda ham (2), (3) tenglamalar o‘z ko‘rinishini saqlaydi (faqat u funksiyasining bo‘yicha hosilasi nolga tengligini hisobga olish zarur). Bu holda sohaning shakliga mos ravishda to‘g‘ri burchakli koordinatalar sistemasi o‘rniga boshqa, masalan, qutb koordinatalaridan foydalanish qulaydir.
Laplas operatorini yuqorida aytilgan koordinatalar sistemasida yozamiz: dekart koordinatalar sistemasida:

Sferik koordinatalar , , sistemasida:


sistemasida:

Tekislikda bu operator quyidagi koordinatalar sistemasida ko’p uchraydi dekart koordinatalar sistemasida :
qutb koordinatalar sistemasida:
.