Texnologiyalari universiteti

O’ZBEKISTON RESPUBLIKASI RAQAMLI TEXNOLOGIYALAR VAZIRLIGI
MUHAMMAD AL-XORAZIMIY NOMIDAGI TOSHKENT AXBOROT

TEXNOLOGIYALARI UNIVERSITETI

KRIPTOGRAFIYA 1 FANIDAN
MUSTAQIL ISH


GURUH:716-21
BAJARDI: Xursanboyev Javohir,
Suyunov Kamoldin,
Rahmatov Komiljon,
Abduqahhorov Bahodir
QABUL QILDI: Mardiyev Ulug’bek


Toshkent -2023
Mavzu :Chebiyeshevning tup sonlarni zichligi haqida teoremasi
Reja :
1.Kirish
2.Asosiy qism :
1)Chebishev funksiyalari
2)Chebishev teoremasi
3.Xulosa
Foydalanilgan adabiyotlar
Kirish :
Chebishevning tub sonlar zichligi teoremasi sonlar nazariyasining asosiy tushunchasi bo'lib, natural sonlar to’plamida tub sonlarning taqsimlanishiga oydinlik kiritadi. Rus matematigi Pafnutiy Chebishev tomonidan taklif qilingan ushbu teorema tub sonlarning butun sonlar orasida qanday taqsimlanishini taxmin qilish orqali tub sonlarning zichligi haqida tushuncha beradi.
Teorema ma'lum bir qiymatgacha bo'lgan tub sonlar soni (n) va shu qiymatga nisbatan tub sonlarning zichligi o'rtasidagi munosabatni tasdiqlaydi. Xususan, u berilgan (n) sondan kichik yoki unga teng tub sonlarning taxminiy sonini aniqlaydi va butun sonlarning umumiy tarqalishiga nisbatan ularning xatti-harakatlarini aniqlaydi
Chebishevning zichlik teoremasi sonlar nazariyasida asos bo'lib xizmat qiladi va turli matematik sohalarda keng ta'sir ko'rsatadi. Uning ilovalari kriptografiya, algoritmlar va matematik tahlillarni o'z ichiga olgan turli sohalarni qamrab oladi. Tub sonlarning taqsimlanishini tushunish muhim ahamiyatga ega bo'lib, bu teorema sonlar nazariyasi sirlarini va uning matematikada va undan tashqarida amaliy qo'llanilishini ochishda asos bo'ladi.
Chebishev funktsiyalari X > 0 dan oshmaydigan tub sonlar sonini p(x) bilan belgilang. Ma’lumki, tub sonlar cheksiz ko‘p raqamlar, ya'ni limx→∞ p(x) → ∞. Mashhur tub sonlar teoremasi bizga ko'proq ma'lumot beradi, ya'ni p(x) ∼ x/ log x.Ushbu maqolada biz Chebishev teoremasini isbotlaymiz, bu boshning oraliq natijasidir.raqamlar nazariyasi va shunga o'xshash metodologiyadan boshqa bir nechta qiziqarli natijalarni olish uchun foydalaning.
1-teorema (Eyler). ∑1/p yig'indisi va ∏
(1 - 1/p)^-1 ning ikkalasi ham bir-biridan farq qiladi, chunki p hammasini qamrab oladiBiz birinchi navbatda mahsulotning ajralishini ko'rsatamiz, so'ngra ketma-ketlik ham borligini xulosa qilamiz.

E'tibor bering, u ∈ (0, 1) va m ∈ Z⩾1 uchun bizda quyidagilar mavjud:

m ∈ Z⩾1 ni tanlang, 2m ⩾ x bo'lsin. E'tibor bering, yuqoridagi tengsizlik u = 1/p bo'lgan barcha p ⩽ x tub sonlar uchun amal qiladi.
Olingan barcha tengsizliklarni ko'paytirib, biz olamiz

Bu erda (a) shundan kelib chiqadiki, agar n = p₁^m1 p₂^m2 ....p_k^mk
n ∈ {1, 2, ..., x} ning tub koeffitsienti hisoblanadi,
u holda p1, p2, ...pk hammasi ⩽ x; va m1, m2, ...mk hammasi ⩽ m (chunki x ⩾ 2)
m). Shunday qilib, o'ngdagi har bir tenglik
qo'l tomoni - chap tomondag tenglik hosilasi.
Demak, mahsulot
∏(1 - 1/p)^-1 farqlanadi.
Ketma ketlikning farqini isbotlash uchun biz kengayishni ko'rib chiqamiz
Agar u€(0:1) bolsa

E'tibor bering, yuqoridagi tenglama u = 1/p bo'lgan barcha p ⩽ x tub sonlar uchun amal qiladi.

Olingan barcha tengsizliklarni qo'shib, biz quyidagilarga erishamiz:
Bundan kelib chiqadiki, S(x) > log P(x) − 1/2 > log log x − 1/2 va shuning uchun P1/p yig‘indisi ham ajralib chiqadi
Ta'rif. Chebishevning s va ps funktsiyalari quyidagicha aniqlanadi
Shu bilan bir qatorda ps(x) := P ni belgilashimiz mumkin
p⩽x Mp log p, bu erda Mp eng yuqori ko'rsatkich bo'lib, pMp ⩽ x ushlab turadi,
masalan ps(10) = 3 log 2 + 2 log 3 + log 5 + log 7.
E'tibor bering, Mp = ⌊log x/ log p⌋, va shuning uchun

Bundan tashqari, (1) va (2) dan e^v(x)
p ⩽ x barcha tub sonlarning ko‘paytmasiga teng va x ⩾ 1 uchun e^ʋ(x)
bo'ladi barcha musbat butun sonlarning eng kichik umumiy karrali n ⩽ x.
Agar p^m ⩽ x, keyin p ⩽ x^1/m, va aksincha, shuning uchun (2) etakchi munosabatga

Endi biz funktsiyalar o'rtasida aloqa o'rnatamiz

Teorema 2

Keyin l1 = l2 = l3, va L1 = L2 = L3. (3) dan kelib chiqadiki, barcha x > 0 uchun

va shuning uchun

x → ∞ uchun biz olamiz.

Endi a ∈ (0, 1) va x > 1 ni tuzating. Keyin

Ikkala tomondan x ga bo'linib, biz olamiz

a ∈ (0, 1) bo'lgani uchun x dan kelib chiqadi a−1
log x → 0, x → ∞ kabi va shunday qilib

Yuqoridagi tengsizlik barcha a ∈ (0, 1) uchun bajarilganligi sababli, L2 ⩾ L1 degan xulosaga kelamiz.
Buni (6) bilan birlashtirib, biz L1 = L2 = L3 olamiz.
l1 = l2 = l3 isboti shunga o'xshash tarzda keladi.
2-teoremadan kelib chiqadiki, agar uchta funktsiyadan biri bo'lsa

x → ∞ kabi chegaraga intiladi, keyin boshqalar ham shunday qiladi va uchta chegara ham bir xil. Shunday qilib, isbotlash uchun
tub sonlar teoremasi uchun limx→∞ ps(x)/x = 1 ekanligini ko‘rsatish kifoya.