1. Determinant

Isbot. Yuqoridagi mulohazalardan, agar z0 Pn(z) ko‘phadning m karrali ildizi bo‘lsa,

• Isbot. Yuqoridagi mulohazalardan, agar z0 Pn(z) ko‘phadning m karrali ildizi bo‘lsa,
• Pn(z)=(z–z0)mPn-m(z)
• o‘rinli bo‘lib, bunda qandaydir –
• darajali ko‘phad va - qandaydir - darajali ko‘phad va Pn-m(z0)0 dir. Oxirgi tenglikni m–1 marta differensiallab,
• (5.6.5)

ni olamiz, bu yerda Qn-m-1(z) (n-m-1)–darajali qandaydir ko‘phaddir. Oxirgida z=z0 desak, bo‘lishi kelib chiqadi. Undan tashqari, km-1 bo‘lganda

• ni olamiz, bu yerda Qn-m-1(z) (n-m-1)–darajali qandaydir ko‘phaddir. Oxirgida z=z0 desak, bo‘lishi kelib chiqadi. Undan tashqari, km-1 bo‘lganda
• k–tartibli hosiladan iborat ko‘phad (z-z0)m-k ko‘paytuvchiga ega bo‘lishiga ishonch hosil qilish qiyin emasdir va shu sababli 0 k  m-1 bo‘lganda
• dir.

Endi (5.6.5) ni differensiallab,

• Endi (5.6.5) ni differensiallab,
• ga ega bo‘lamiz, bu yerda Qn-m-2(z) (n-m-2)–darajali qandaydir ko‘phaddir. Oxirgida z=z0 deb,
• ni olamiz. Teorema isbotlandi.
• Eslatma. Agar z-z0 Pn(z) ko‘phadning ko‘paytuvchilari yoyilmasida birinchi darajada qatnashsa, ya’ni bo‘lsa, z0 ni ko‘phadning oddiy ildizi (ba’zan bir karrali ildizi) deb yuritiladi.