1-varyant super kengaytma funktori

Teorema 7.4.1. (1) tenglik bilan aniqlangan funksiya M kо‘pxillikda metrika bо‘ladi va u quyidagilarni qanoatlantiradi:
1)  ( P,Q )>0;
2)  ( P,Q )= ( Q,P );
3)  ( P,L )+ ( L,Q )> ( P,Q );
4)  ( P,P )=0;
5) agar P bо‘lsa,  ( P,Q )>0.
Bu funksiyaga M kо‘pxillikdagi Riman metrikasi deyiladi.
Demak , ixtiyoriy Riman kо‘pxilligi metrik fazo bо‘lar ekan.

Qopketganlar
Silliq ko’pxilliklarda Riman metrikasi L2
Agar chiziq [a, b] chizmada x_i=x_i (t) formula orqali berilgan bo’lsa u holda uning uzunligi

Formula bilan hisoblangan edi. Bu holda biz Rⁿ fazoda evklid koordinatalari bilan ish ko’rgan edik. Endi biz yangi z₁, z₂,…,z_n koordinatalarni olsak, z_i=z_i(t), i=1n ga ega bo’lamiz. Bunda

Shu chiziq uchun yangi koordinatalarda uning uzunligi

formula orqali hisoblanadi, bunda b miqdor [a,b] da o’zgaradi va


tengligi o’rinlidir. Shu sababli

tenglik o’rinli. Hamda bu tenglik matritsa yozuvida
G = A x A^T ko’rinishda bo’ladi, bunda G=(Gis),
A^T – transponirlangan matritsa.
Taqsimlamoqchiligimizni shu chiziqning t ga o’tkazilgan tezlik vektori, lekin bu vector yangi z₁, z₂,…,z_n koordinatalarida qaraladi.
Ta’rifga ko’ra o’sha vektordir. Hamda vector bitta

nuqtada (Z) va (X) koordinatalarga ega.
Ko’p hollarda riman metrikasi evklidfazosidagi yoy uzunligi differensiali ko’rinishida quyidagicha ifodalaydilar
deport koordinatalar sistemasi:

qutb koordinatalari sistemasida
(n=2):(dl)²=(dr)²+r²(dφ)²
silindrik koordinatalar sistemasida
(dl)²=(dr)²+r²(dφ)²+(dr)²
so'qiq koordinatalar sistemasida:
(dl)²=(dr)²+(dθ)²+sin²θ(dφ)²)r².
Shunday qilib, Rⁿ fazoning koordinatlari z₁, z₂,…,z_n bo’lgan birorta sohasi Riman metrikasi Gis ni aniqladik, bunda
Gis=Gis(z₁, z₂,…,z_n), lar
.
Dekart (x₁, x₂, … , x_n) koordinatlarida
tenglik o’rinli bo’ladi.
biz har doim yoki Gis formulasini ayniymaslik shartini qo’yamiz.
Agar (Gis(z₁, z₂,…,z_n)) matritsa musbat aniqlangan kvadratning formasining matritsasi bo’lsa, ya’ni barcha holdan farqli vektorlarning (egri chiziqlarning) uzunliklari musbat bo’lsa, aytamizki Gis Riman metrikasini ifodalaydi.
Ta’rif. Differensiallanuvchi (silliq) ko’pxillik deb quyidagicha struktura bilan ta’minlangan ixtiyoriy M nuqtalar to’plamiga aytiladi:
M to’plam o’zining U_q larga “atlas” deb yuritiladi, ya’ni M = _qυU_q8
Har bir U_q atlas uchun φ_q o’zaro bir qiymatli moslik bo’lib Rⁿ fazoning birorta ochiq V_q to’plamasi orasida o’rnatilgandir.
φ : U_q → V_q , V_q ≤ Rⁿ
Demak, a) M = υ U_v , U_q – local kartalar deb yuritiladi.
b) φ : U_q → V_q
Rⁿ fazoda har bir nuqta ma’lumki, (y₁, y₂, … , y_n) koordinatlarga ega.
Bu o’zaro bir qiymatli moslik U_q to’plamda quyidagi funksiyalar naborini (funksiyalar tizizi, chekli ketma-ketligini) vujudga keltiradi:

Bu holatda bitta M nuqta bir vaqtda bir necha lokal kartalarga tegishli bo’lishi mumkin, ya’ni P € U_pηU_q¹. Kortalaning U_pηU_q kesishmasida ikki lokal koordinatalar sistemasi o’rinli bo’ladi. Bu holatlarda (kesishmalarda) koordinatalar biri ikkinchi orqali silliq ifodalanadi va

Shuni ta’kidlashimiz mumkinki, ixtiyoriy 2 ta atlas, ekvivalent hisoblanadi.
Bizga quyidagi ikki M = υ U_p va N = _qυN_q
Koordinatalari va bo’lgan ko’pxilliklar berilgan bo’lsin.
Ta’rif.
Ixtiyoriy f : M → N almashtirish silliq sinfi K-ga tegishli yoki K-sinfiga tegishli deyiladi, agar ixtiyoriy (q, p) juftlik uchun barcha
funksiyalar o’zining aniqlanish sohasida silliqligi K-sinfga tegishli bo’lsa.
Ta’rifdan ma’lum bo’lmoqdaki, almashtirishning silliqlik sinfi ko’pxillikning silliqlik sinfidan katta emas.
(*) koordinatalarini almashtirishda ularning umumiy silliqlik sinfi kesishma koordinatalarida ham bir xil deb hisoblanadi hamda kesishmadagi koordinatalarining silliqlik sinfi ixtiyoriy cheksizga teng deb olinadi.
Rⁿ fazoning ochiq sohalaridan iborat bo’lgan ixtiyoriy qoplamasi berilgan bo’lsin. Rⁿ fazoning W_q sohadagi silliq N K-o’lchamli qism ko’pxilligi.
W_q sohada aniqlangan quyidagi lokal chekli tenglamalar tizimi orqali aniqlanadi:
(*)
Bunda funksiyalar W_q sohada C^∞ silliqlik sinfiga tegishlidir.
Hamda, har bir matritsaning rangi N^k qismi ko’pxillikning har bir nuqtasida (n – k) teng bo’lishi shart.
Jumladan, f_p = 0 va f_q = 0 tenglamalar nabori W_p η W_q kesishma nuqtalarida ekvivalentligi talab qilinadi.
Endi biz qism N^k ko’pxillikda lokol atlas U_q kartalarni ko’rishni ko’rsatamiz, bunda q indekslar N^k qism ko’pxillik nuqtalari bilan o’zaro bir qiymatli moslikda bo’ladi. ya’ni q = Q € N^k.
Aytaylik, Q € N^k qism ko’pxillikning aniqlnishiga ko’ra shunday
i₁, i₂, … , i_n–k tartib raqamlar nomeri tizimi topiladi, ular

shartli qanoatlantiriladi. Oshkormas funksiyalar haqidagi teoremaga ko’ra Q nuqtaning birorta ochiq atrofi atrofida (*) tenglamalarini quyidagi ko’rinishda yozish mumkin bo’ladi:
(* *)
bu yerda 1 ≤ p ≤ n–k , shuningdek, f₁, f₂, … , f_k nomerlar i₁, i₂, … , i_k nomerlarga qo’shimcha nomerni tashkil qiladi.
R^k fazoda shunday yetarlicha kichik sohani tayin qilamizki, u (* *) sistema o’rniga bo’lsin. Bu sohani V_Q bilan belgilaymiz. Bu sohadagi
Y_i1 , … , Y_{i n} koordinatalarini, . U_q bilan esa N^k qism ko’pxillikning (* *) ning o’rinli bo’lishi asosida V_q mos keluvchi nuqtalarini belgilaymiz.
Bu holatda quyidagi teorema o’rinli bo’ladi.
Teorema.
Yuqorida aniqlangan N^k nuqtalar to’plami lokol atlaslarda U_Q aniqlangan lokol koordinatalar bilan birgalikda silliq ko’pxillikdan iborat bo’ladi.
Ta’rif. M ko’pxillikning ixtiyoriy x nuqtasidagi urinuvchi vektori deb, ) lokol koordinatalar sistemasida ifodalangan (yozilgan) sonlar qatori ko’rinishida yozilgan vektorga aytiladi. Eslatamizki, nuqtani o’zida saqlovchi bitta vektorning turli lokal koordinatlar sistemasi quyidagi formula orqali bog’liqligi mavjud.

Urinma vektorlari (urinuvchi vektorlari) to’plami n – o’lchamli chiziqli fazoni tashkil qiladi, xususiy holda, ixtiyoriy silliq chiziqning tezlik vektori urinma vektordan iborat bo’ladi.