1-varyant super kengaytma funktori

6.4.3-ta’rif. Yoyilmaning II kanonik tipi deb, ko‘rinishdagi so‘z bilan ifodalangan bitta ko‘pburchakdan iborat yoyilmaga aytiladi.
6.4.4-teorema. Ixtiyoriy oriyentirlangan yoyilma (mos ravishda -oriyentirlanmagan) I tip kanonik (II tip kanonik) yoyilmaga ekvivalentdir.
Bu teoremadan shuni e’tirof etish mumkinki, har qanday yopiq sirt Mr yoki ko‘rinishdagi (bu yerda r va q lar sirtning jinsi deb yuritiladi) sirtga gomeomorf bo‘lar ekan.
2. Riman kо‘pxilliklarida geodezik chiziqlar.
Bizga malumki, agar n о‘lchamli vektor fazoda skalyar ko’paytma aniqlangan bo’lsa, bu vektor fazoga evklid vektor fazosi deyilar edi va ko’rinishida belgilanadi. Boshqa qilib aytganda _bichiziqli simmetrik musbat aniqlangan forma berilgan bo’ladi, bunda ko’rinishda belgilanadi va son ifoda ixtiyoriy va -haqiqiy sonlar tо‘plami uchun quyidagi shartlarni qanoatlatiradi:

bunda

Kо‘pgina xollarda yuqoridagi  tenglikni

ko’rinishda ham belgilanadi, bunda bо‘lib, lar fazoning bazis vektoridan iboratdir. sonlar sistimasi n x n matritsa elementlaridan iborat bo’lib, kup xollarda  sonlarga metrik tenzor koeffitsiyentlari deb yuritiladi va . Ma’lumki, , chunki -simmetrik edi.

Ataylik, bizga silliq M kо‘pxillik berilgan bo’lsin.
7.4.1-Ta’rif. Aytishadiki, M silliq ko’pxillikning A to’plam ostida X vektor maydon aniqlangan deyiladi, agar uning xar bir x A nuqtaga T_xM vektor fazoning birorta X_x  T_xM vektori mos qo’yilgan bo’lsa.
X vektor maydonni x X_x akslantirish sifatida aniqlash uchun shunday bir tо‘plamni aniqlash kerakki bu tо‘plamga barcha X_x vektorlar tegishli bo’lsin. Ma’lum bо‘lmoqdaki turli nuqtalarga mos kelgan vektorlar turli urinma tekisliklarda (fazolarga) tegishlidir. Bu to’plam vazifasini
TM fazo, ya’ni urinma vektor fazolar qatlami T M to’g‘ri keladi. Shu sababli vektor maydonni
X : A→ T M
Akslantirish sifatida aniqlash maqsadga muvofiq bо‘ladi, bu yerda . Demak,T M – bu ko’pxillikning vektor fazolar qatlami ekan.
Yuqoridagi X :A→T M akslantirish qushimcha quyidagi xossaga egadir
Ixtiyoriy X A nuqta uchun P ( X_x)₌ x proyeksiya bo’lib, uning uchun P X=id_A tenglik o’rinli;
M ko’pxillikni sohasidagi X vektor maydon silliq deb yuritiladi, agar u uchun quyidagi uchta о‘zaro ekvivalent shartlardan biri о‘rinli bo’lsa:
1) X : A → T M (1)
akslantirish A =G bo’lganda silliq akslantirishdan (silliq kо‘pxillik orasidagi akslantirishlar kabi) iborat bo’lsa:
2) M ko’pxillikning G sohasidagi aniqlangan ixtiyoriy silliq f funksiya uchun (Xf) (x) ₌X_uf formula orqali aniqlangan Xf funksiya silliq bo’lsa:
3) ixtiyoriy x G uchun shunday (U, h )karta topiladiki, x vektorning X_x koordinalari x nuqtaning x₁.....x_p koordinatalariga silliq bog‘liqdir.
M ko’pxillikni A to’plamostisida aniqlangan X vektor maydon silliq deyiladi, agar shunday kamida bitta silliq V vektor maydon mavjud bo’lsaki G ning A G ochiq tuplamostisida aniqlangan u A tuplamda X bilan ustma - ust tushsa yani

U_A =X. Bu Ѵ vektor maydoniga X vektor maydoning kengaytmasi deb yuritiladi.
7.4.2-Ta’rif. Aytamizki , silliq M ko’pxillikda Riman strukturasi aniqlangan deyiladi, agar har bir urinma T_xM fazoda ˂ ˃ skalyar kupaytma aniqlangan bo’lib u x nuqtaga silliq bog‘liq bo’lsa, yani M silliq ko’pxillikning ixtiyoriy silliq X va Y vektor maydonlari uchun ˂ X, Y˃ funksiya M da silliq bo’lsa;
Riman kо‘pxilligi deb, bog‘lamli M ko’pxillikda silliq Riman strukturasi aniqlangan kо‘pxillikga aytiladi. Agar boshqachasi aytilmagan bo’lsa, biz bu tarifdagi M uchun deb hisoblaymiz.
Ikki Riman ko’pxilliklar M₁ va M₂ lar izometrik deb yuritiladi_, agar .ular orasida  : M₁ → M₂ diffeomorfizm mavjud bo’lib, ixtiyoriy X M va ixtiyoriy  vektorlar uchun

o’rinli bo’lsa.
Bu tarifdagi akslantirishga izometriya deb yuritiladi.
Riman kо‘pxilliklariga eng sodda misol sifatida evklid fazosini olish mumkin.
Aytaylik, bizga Riman kо‘philligi M bо‘lsin tarifga ko’ra, M bog‘lamli fazodir. Bog‘lamli silliq M kо‘pxillikda ixtiyoriy ikki nuqta orasida S yo’l mavjud bo’ladi. M silliq kup xillikning ixtiyoriy R va Q nuqtalari orasidagi masofa masofani quyidagicha aniqlaymiz: bu yerda inf conu P va Q nuqtalarni tutashtiruvchi barcha bо‘lakli-chiziqli  yо‘llar bо‘yicha hisoblanadi.