10-Mavzu Gazning g’ovak muhitdagi beqaror harakati

7.2. Leybenzon tenglamasini linearizatsiyalash va linearizatsiyalangan tenglamaning asosiy yechimi
Agar (7.5) chiziqli bo’lmagan differentsial tenglamani chiziqlikka almashtirilsa, ya’ni uni linearizatsiya qilinsa, unda uni yechimi osonlashadi. Bunga sabab chiziqli tenglama uchun aniq analitik yechimlar mavjud. Bu ko’rinib turibdiki, chiziqli tenglamaning aniq yechimi chiziqli tenglama uchun yaqinlashuvchi bo’ladi. Aniq tenglamani linearizatsiyalangan bilan almashtirilganda sodir bo’ladigan yechim xatoligini baholashda, masalan yaqinlashish usuli yechimini kompyuterda yechilgan aniq tenglama bilan taqqoslash mumkin.
(7.5) tenglamani linearizatsiyalashda ko’p usullar taklif etilgan. Agar quduqqa gaz tekis radial oqib kiradigan deb qaraladigan bo’lsa, gaz barqaror filtratsiyasi nazariyasidan ma’lumki, depressiya voronkasi juda tik qiya va qatlamning katta qismida bosim kontur bosimidan kam farqlanadi. Bu asosga ko’ra Leybenzon (7.5) tenglama koeffitsientidagi «P» o’zgaruvchan bosimni «P_k» (qatlamdagi boshlang’ich bosim) o’zgarmas bosimga almashtirishni taklif etadi. Unda, deb belgilab, (7.5) tenglama o’rniga
, (7.7)
tenglamaga ega bo’lamiz. Bu tenglama «P²» funksiyaga nisbatan chiziqli pyezo o’tkazgich tenglamasi bo’lib hisoblanadi.
I.A. Charniy (7.5) tenlamadagi, « » koeffitsientni o’zgaruvchi «P» bosimga almashtirib, chiziqli tenglamaga
(7.8)
keltirishni taklif qildi. Bunda va - mos ravishda hisoblash davridagi gaz yotqiziqlarining maksimal va minimal bosimlari.
Quduqqa oqib kiradigan suyuqliklarning konkret masalasini ko’rib chiqamiz.
«h» o’zgarmas bosimli cheksiz uzunlikdagi qatlamda yotgan, cheksiz kichik radiusli (nuqtali oqib kiradigan) quduqqa oqib kiradigan gazning konkret masalalarini qaraymiz. Boshlang’ich vaqt momentida qatlam ta’sirlanmagan, ya’ni butun qatlam bo’yicha bosim o’zgarmas va «P_k» ga teng. Shu momentdan boshlab o’zgarmas debitli «Q_at» gaz olina boshlanadi. Qatlamda vaqt o’tishi bilan P(r,t) bosim o’zgarishini topish kerak.
Bu masalani yechish uchun (7.7) linearizatsiya tenglamasidan foydalanamiz. Gazning tekis radial filtratsiyasi uchun bu tenglama quyidagicha yoziladi:
. (7.9)
Bu yerda ifoda tekis radial oqim uchun qutb koordinatalarida bosim kvadratiga nisbatan Laplas operatorini ko’rsatadi.
(7.9) tenglama boshlang’ich shartlarda
da (7.10)
va nuqtadan uzoqlashgan chegaraviy shartlarda
da (7.11)
integrallash kerak.
Quduq tubida bosim uchun shart kiritamiz. Buning uchun, tekis radial filtratsiyaning differentsial ko’rinishidagi Darsi qonunidan kelib chiqqan massali debitni quyidagi ifoda bilan yozamiz:
.
tengliklardan foydalanib va « » ga bo’lib,
(7.12)
ifodani hosil qilamiz.
Bu munosabatdan cheksiz kichik radiusli gaz qudug’i devoridagi shartni
(7.13)
ifodalaymiz.
Demak, quyilgan masalaning yechish uchun (7.9) tenglama (7.10), (7.11) va (7.13) shartlarda integrallanishi kerak.
Qo’yilgan masalani elastik suyuqlik uchun yechimi bo’lib, (6.59) elastik rejim asosiy formulasi hisoblanadi:
. (7.14)
Elastik suyuqlik va gaz filtratsiyalari orasidagi analogiya shuni ko’rsatadiki, (7.14) formuladagi bosimni «P²» ga « »-« » ga, « » - « » ga almashtirib, gaz uchun oldimizga qo’yilgan masalaning yechimiga ega bo’lamiz:
, (7.15)
yoki
. (7.16)
(6.59) formulaga asosan argumentning kichik qiymatlari uchun integral ko’rsatkichli funksiyani logarifmik funksiyaga almashtirish mumkin:
(7.17)
yoki
. (7.18)
(7.15)...(7.18) tenglamalar yaqinlashuvchi bo’lib hisoblanadilar, chunki bular (7.9) Linearizatsiyalangan tenglamani integrallash natijasida hosil qilinganlar.