2-amaliy mashg’ulot. Mulohazalar va ular ustida amallar

T A ' R I F 6 : А mulohazaning inkori dеb u rost bo¢lganda yolg¢on, yolg¢on bo¢lganda esa rost qiymat qabo’l qiluvchi yangi mulohazaga aytiladi va ù А kabi bеlgilanadi.
ù Аinkor “A emas” dеgan ma'noni bildiradi va bitta mulohaza orqali aniqlangani uchun unar amal hisoblanadi.
Masalan, A = {25 tok son} mulohaza uchun ù А = {25 tok emas} yoki ù А={25 juft son } dеgan ma'noni ifodalaydi.
Ta'rifga asosan A=1(rost) bo’lsa, ùА=0 va aksincha A=0 (yolg¢on) bo¢lsa, ùА=1 bo¢ladi.
Matematik mantiqiyot (logika) matematikaning bo‘limlaridan biri sifatida o‘ziga mustaqil fan ekanligi ma’lumdir. Bu bandda ushbu risolaning bayonida zarur bo‘ladigan matematik mantiqiyotning ba’zi bir elementlarini keltiramiz.
Barcha fanlar kabi matematika ham o‘z alifbosiga egadir. Alifbo harflar, raqamlar va maxsus belgilardan tashkil etilib, ularning har biri o‘z navbatida yaxlit deb qabul qilingan belgilardan iboratdir.
Matematikaning alifbosi barcha tillar va fanlar alifbolarining birlashmasidan iboratdir desak yanglish bo‘lmaydi va bunga sabab matematika barcha xalqlar uchun va barcha fanlarning asosida bo‘lganligidadir deb o‘ylaymiz.
Harflar deb qabul qilingan yaxlit belgilarning bir satrga joylashgan birikmasini «so‘z» va so‘zlarning yuqoridagidek birikmasi esa «gap» yoki «jumla» deb atalishi ham bizga ma’lumdir.
Matematikaning yuqorida aytilgan alifbosi asosida harflar, raqamlar, maxsus belgilar, so‘zlar va gaplardan foydalanib bitilgan yozuv ifoda deb ataladi.
Ifoda tarkibida qatnashgan harf uning qiymati deb ataluvchi turli ifodalarni (sonlarni) qabul qilsa, uni o‘zgaruvchi deb ataladi.
Agar o‘zgaruvchi faqat sonlardan iborat qiymat qabul qilsa, uni sonli o‘zgaruvchi deyiladi.
Tarkibida o‘zgaruvchi qatnashgan ifoda shakl, o‘zgaruvchi qatnashmagan ifoda esa, konstant (o‘zgarmas) deb ataladi.
Tarkibida n ta o‘zgaruvchi qatnashgan shakl no‘zgaruvchili shakl deyiladi.
Shakl o‘zgaruvchilarining qabul qilishi mumkin bo‘lgan (shakl ma’noga ega bo‘ladigan) qiymatlari majmui shaklning aniqlanish sohasi deyiladi.
Masalan, x haqiqiy sonli o‘zgaruvchi bo‘lganda, ushbu shaklning aniqlanish sohasi bo‘lgan barcha haqiqiy sonlardan iboratdir. Ammo, lardan birortasi ham sonli xo‘zgaruvchi uchun joiz qiymat bo‘la olmaydi.
Agar  shakl bo‘lib, u n ta o‘zgaruvchilarga ega bo‘lsa, uni kabi yozish qabul qilingandir.
Tegishli o‘zgaruvchilarining barcha joiz qiymatlarida sonni bildiradigan shakl sonli shakl deyiladi.
Matematikada «=» tenglik harfi sifatida qabul qilinib, u turli ma’nolarga ega ekanligini aytamiz:
1) bir elementning turli shaklda yozilishini anglatadi, masalan,
2) tenglamao‘rinli bo‘ladigan uning o‘zgaruvchilari qiymatlarini anglatadi, masalan, uchun yoki ;
3) sonli shakllarning teng kuchliligi (ekvivalentligi) ni anglatadi, masalan, ;
va boshqalar.
So‘zlar va jumlalar orasida «emas», «va», «yoki» so‘zlari bog‘lovchilar sifatida kelishi bizga ma’lumdir; matematik mantiqiyotda ham bu so‘zlar mantiqiy bog‘lovchilar deb atalib, ular uchun mos ravishda «», «», «» kabi maxsus belgilar ishlatiladi.
Biror gapdan «emas» so‘zi yordamida hosil qilingan yangi gap berilgan gapning inkori deyiladi. Masalan, A «a haqiqiy son musbat» dan iborat bo‘lsa,  «a haqiqiy son musbat emas» degan gapdan iboratdir.
Ikkita gapning «va» bog‘lovchi so‘z yordamida birikishidan hosil qilingan, ikkala gapning ham ayni paytda o‘rinli bo‘lishidan iborat yangi gap ularning kon’yunksiyasi deyiladi. Masalan, P «kvadrat uchhad koeffitsiyentlari haqiqiy» degan, Q esa «diskriminanti manfiy» degan gaplardan iborat bo‘lsa; «kvadrat uchhad koeffitsiyentlari haqiqiy va diskriminanti manfiy» gapidan iboratdir.
Ikkita gapning «yoki» bog‘lovchi so‘z yordamida birikishidan hosil qilingan, ayni paytda ulardan aqalli bittasining o‘rinli bo‘lishidan iborat yangi gap ularning diz’yunksiyasi deyiladi. Masalan, A gap yuqoridagidek bo‘lib, B esa «-1 dan kichik» gapidan iborat bo‘lsa, bo‘lganda «a soni musbat yoki –1 dan kichik» gapiga egamiz.
Berilgan ikkita M hamda N gaplardan «agar Mbo‘lsa, u holda N bo‘ladi» ko‘rinishida hosil qilingan yangi gap ularning implikatsiyasi deyiladi va  belgi yordamida kabi yoziladi.
Berilgan ikkita K hamda L gaplardan «agar Kbo‘lsa, faqat shu holda L bo‘ladi» ko‘rinishida hosil qilingan yangi gap ularning ekvivalensiyasi deyiladi va  belgi yordamida kabi yoziladi. Bu ba’zan ikki tomonlama implikatsiya deb ham yuritiladi. «Kbo‘lishi uchun L ning bo‘lishi zarur va yetarlidir» degan gapda ekvivalensiya mavjuddir.
Misol, kvadrat uchhad berilgan bo‘lsin. Agar A,P va Q gaplar yuqoridagicha bo‘lib, T – «uning haqiqiy ildizi mavjud» degan, F – esa «uning qiymati musbat» degan gaplar bo‘lsa, quyidagilar o‘rinlidir:
1) 2) P( Q)T ; 3) A( A) «a haqiqiy son».
Bularga ishonch hosil qilishni o‘quvchining o‘ziga qoldiramiz.
Quyidagi belgilashlarga ham ushbu risolaning bayoni davomida ko‘p marotabalab murojaat qilamiz:
1) «har qanday (ixtiyoriy) x uchun» degan gap umumiylik kvantori deyiladi va kabi belgilanadi;
2) «shundayx mavjudki» degan gap mavjudlik kvantori deyiladi va kabi belgilanadi.
3) Agar mvan butun sonlar berilgan bo‘lib, biror io‘zgaruvchi shu berilganlar va ular orasidagi barcha butun sonlarni o‘sish (m bo‘lganda) yoki kamayish (m>n bo‘lganda) tartibida ketma-ket qabul qilsa, uni kabi belgilashni kelishib olamiz. Masalan, i=1,2,…,no‘rniga yozuvni ishlatish mumkin.
4) Agar ifodalar (sonlar) berilgan bo‘lsa, ularning yig‘indisi va ko‘paytmasini mos ravishda

kabi belgilaymiz.
5) bo‘lganda kabi belgilanadi va uni “n faktorial” deb o‘qiladi. Undan tashqari, 0!=1!=1 deb qabul qilinadi. uchunn!=n(n-1)!tenglikning to‘g‘ri ekanligiga ishonch hosil qilish osondir.