2-Ma’ruza: Hodisa ehtimoli tushunchasi va uning klassik, statistik ta’riflari. Kolmogorov aksiomalari. Ehtimollik fazosi. Ehtimolning asosiy хossalari

2-misol. (Uchrashuv haqida)
Ikki do‘st soat 9 bilan 10 orasida uchrashishga kelishishdi. Birinchi kelgan kishi do‘stini 15 daqiqa davomida kutishini, agar shu vaqt mobaynida do‘sti kelmasa u ketishi mumkinligini shartlashib olishdi. Agar ular soat 9 bilan 10 orasida ixtiyoriy momentda kelishlari mumkin bo‘lsa, bu ikki do‘stning uchrashishi ehtimolini toping.

A

60

15
B irinchi kishi kelgan momentni x, ikkinchisinikini y bo‘lsin: , U holda ularning uchrashishlari uchun tengsizlik bajarilishi kerak.


Demak, , . x va y larni Dekart koordinatalar tekisligida tasvirlaymiz(8-rasm).
U holda

3-rasm.

Ehtimollikning aksiomatik ta’rifi

Ehtimollar nazariyasini aksiomatik qurishda A.N. Kolmogorov tomonidan 30-yillarning boshlarida asos solingan.

- biror tajribaning barcha elementar hodisalar to‘plami, S-hodisalar algebrasi bo‘lsin.

• 
  S hodisalar algebrasida aniqlangan, haqiqiy qiymatlar qabul qiluvchi fuksiya ehtimollik deyiladi, agar u uchun quyidagi aksiomalar o‘rinli bo‘lsa:
  

A1: ihtiyoriy hodisaning ehtimolligi manfiy emas (nomanfiylik aksiomasi);
A2: muqarrar hodisaning ehtimolligi birga teng (normallashtirish aksiomasi);
A3: juft-jufti bilan birgalikda bo‘lmagan hodisalar yig‘indisining ehtimolligi shu hodisalar ehtimollari yig‘indisiga teng, ya’ni agar bo‘lsa, u holda

(additivlik aksiomasi);
uchlik ehtimollik fazosi deyiladi, bu yerda -elementar hodisalar fazosi, S-hodisalar algebrasi, P- A1-A3 aksiomalarni qanoatlantiruvchi sanoqli funksiya.

Ehtimollikning xossalari

Kolmogorov aksiomalarining tadbiqi sifatida quyidagi xossalarni keltiramiz:

1. 
   Mumkin bo‘lmagan hodisaning ehtimoli nolga teng
   

.

2. 
   Qarama-qarshi hodisalarning ehtimolliklari yig‘indisi birga teng
   

.

3. 
   Ixtiyoriy hodisaning ehtimolligi uchun quyidagi munosabat o‘rinli:
   

4. 
   Agar bo‘lsa, u holda .
   
5. 
   Agar birgalikda bo‘lmagan hodisalar to‘la gruppani tashkil etsa, ya’ni va bo‘lsa u holda
   

.
Isboti:
1. tengliklardan A3 aksiomaga ko‘ra
2. tengliklardan hamda A2 va A3 aksiomalardan esa tenglik kelib chiqadi.
3. 2-xossaga ko‘ra va A1 aksiomaga asosan .
4. ekanligidan va . A3 aksiomaga ko‘ra , ammo bo‘lgani uchun .
5. tenglik, A2 va A3 aksiomalarga ko‘ra . ■