4-Modul: Tekis kesim yuzalarining geometrik xarakteristikalari

5.6. Bosh inerstiya o’qlari va bosh inerstiya momentlari
Tekis kesimning biror xOu koordinata o’qlar sistemasiga nisbatan markazdan qochma inerstiya momenti

ma’lum bo’lsin.
Bu o’qlar sistemasini 90 gradusga musbat yo’nalishda bursak, x₁=u va u₁=-x bo’ladi.
Yangi koordinata o’qlari x₁Ou₁ sistemasiga nisbatan markazdan qochma inerstiya momenti

Demak, koordinata o’qlar sistemasini 90 gradusga burilganida markazdan qochma inerstiya momenti o’z ishorasini o’zgartiradi.

Bundan kelib chiqadiki, bu oralikda koordinata o’qlar sistemasining shunday vaziyati mavjudki, ularga nisbatan tekis kesimning markazdan qochma inerstiya momenti nolga teng bo’ladi.
Markazdan qochma inerstiya momenti nolga teng o’qlar bosh o’qlar, bosh o’qlarga nisbatan hisoblangan inerstiya momentlari - bosh inerstiya momentlari deyiladi.
Bosh o’qlar yo’nalishini topish uchun (5.3) tenglamani nolga tenglaymiz:



Bundan
(5.27)
Bu formuladan ₀ ning bir - biridan 90 gradusga farqlanuvchi ikkita qiymati kelib chiqadi. Ularning kichigining absolyut qiymati 45 gradusdan ortmaydi, shu burchak ostida o’tkazilgan bosh o’qni U , ikkinchisini -  deb belgilanadi.
Bosh inerstiya momentlari Iu va Iv qiymatlarini (5.22) va (5.23) formulalarga =₀ qo’yib, tegishlicha topish mumkin.
Umumiy holda bosh inerstiya momentlarini (5.25) va (5.26) larni birgalikda (5.27) dan foydalanib echib topiladi.
Trigonometrik boglanishlar
va
(5.27) tenglama orqali ifodalanadi:


Endi (5.26) tenglama quyidagi ko’rinishni oladi:

Oxirgi ifodani (5.25) bilan ‘adma - ‘ad qo’shib, keyin undan ayirib quyidagi umumiy boglanishni hosil qilamiz.

(5.28)
bo’lganida va bo’ladi.
Bosh inerstiya momentlari ekstremallik xususiyatiga ega. Bunga ishonish uchun ixtiyoriy o’qqa nisbatan inerstiya momenti (5.1) yoki (5.2) ni o’zgaruvchi  bo’yicha differenstiallaylik.
Bundan da bo’lishi kelib chiqadi. Demak, bosh o’qlarga nisbatan inerstiya momentlari ekstremal qiymatlarga ega bo’ladi.
O’zaro tik o’qlarga nisbatan inerstiya momentlari yigindisi o’zgarmas kattalik (5.25) ekanligini nazarda tutsak, bosh o’qlarning biriga nisbatan inerstiya momenti maksimal bo’lsa, ikkinchisiga nisbatan - minimal bo’ladi.
Brus o’qi va uning ko’ndalang kesimi bosh o’qlari orqali o’tuvchi tekisliklar bosh tekisliklar deb yuritiladi.
Agar tekis kesim biror simmetriya o’qiga ega bo’lsa, bu simmetriya o’qi bosh o’q bo’ladi, ikkinchisi esa kesim markazidan unga tik yo’naladi.

5.7. Inerstiya radiusi haqida tushuncha

Tekis kesimning biron o’qqa nisbatan inerstiya momentini kesim yuzasining biror masofa kvadratiga ko’paytmasi sifatida ifodalash mumkin:

Bu erda r_x va r_y - tekis kesimning tegishlicha x va u o’qlariga nisbatan inerstiya radiuslari.
Kesimning o’qqa nisbatan inerstiya momentining kesim yuzasiga nisbati kvadrat ildizini o’qqa nisbatan inerstiya radiusi deyiladi:
(5.29)
Bosh inerstiya o’qlariga bosh inerstiya radiuslari mos bo’ladi:

Asosining kengligi v, balandligi h bo’lgan to’gri to’rtburchakning inerstiya radiuslari quyidagilarga teng:
.