7-ma’ruza. O’lchovli funksiyalar va ularning xossalari. O’lchovli funksiyalar ketma-ketligi. Tekis yaqinlashish. Egorov teoremasi. O’lchov bo’yicha yaqinlashish. Lebeg va Riss teoremalari.(2 soat) Darsning rejasi

Yechish. Faraz qilaylik, o‘lchovli funksiya bo‘lsin, u holda ta’rifga ko‘ra, ixtiyoriy uchun to‘plam o‘lchovli bo‘ladi.
1) tenglikdan, hamda o‘lchovli to‘plamning to‘ldiruvchisi o‘lchovli ekanligidan to‘plamning o‘lchovli ekanligi kelib chiqadi.
2) tenglikdan, hamda o‘lchovli to‘plamlar kesishmasi o‘lchovli ekanligidan to‘plamning o‘lchovli ekanligi kelib chiqadi.
3) to‘plamning o‘lchovli ekanligini ko‘rsatamiz:

Bu yerda to‘plam 2) ko‘rinishdagi to‘plam bo‘lgani uchun u - o‘lchovli. O‘lchovli to‘plamlarning sanoqli sondagi kesishmasi (6.7-teoremaga qarang) o‘lchovli bo‘lgani uchun to‘plam o‘lchovli bo‘ladi.
4) to‘plamning o‘lchovli ekanligi ta’rifdan, 3) dan hamda tenglikdan kelib chiqadi.
5) tenglikdan hamda to‘ldiruvchi to‘plamning o‘lchovliligidan kelib chiqadi.
7.3-misol. Agar ixtiyoriy uchun 7.2-misoldagi 1), 4), 5) ko‘rinishdagi to‘plamlarning birortasi o‘lchovli bo‘lsa, u holda funksiya to‘plamda o‘lchovli bo‘lishini isbotlang.
Yechish. 1). Ixtiyoriy uchun ushbu to’plam o’lchovli bo’lsin. Ushbu tenglikdan o’lchovli to’plamlar xossasiga ko’ra to’plamning o’lchovli ekanligi kelib chiqadi.
2). Ixtiyoriy uchun ushbu to’plam o’lchovli bo’lsin. Ushbu tenglikdan o’lchovli to’plamlar xossasiga ko’ra to’plamning o’lchovli ekanligi kelib chiqadi.
3). Ixtiyoriy uchun ushbu to’plam o’lchovli bo’lsin. Ushbu tenglikdan o’lchovli to’plamlar xossasiga ko’ra to’plamning o’lchovli ekanligi kelib chiqadi.
7.4-misol. Agar va lar da o‘lchovli funksiyalar bo‘lsa, u holda

to‘plam o‘lchovligini ko’rsating.