7-ma’ruza. O’lchovli funksiyalar va ularning xossalari. O’lchovli funksiyalar ketma-ketligi. Tekis yaqinlashish. Egorov teoremasi. O’lchov bo’yicha yaqinlashish. Lebeg va Riss teoremalari.(2 soat) Darsning rejasi

Yechish. Ratsional sonlar to‘plami sanoqli bo‘lgani uchun uning elementlarini nomerlab chiqamiz, ya’ni va quyidagi tenglikni isbotlaymiz:
(7.1)
Faraz qilaylik, bo‘lsin, u holda ratsional sonlar-ning zichlik xossasiga ko‘ra shunday mavjudki, munosabat o‘rinli bo‘ladi. Demak,

Bundan

ekanligi kelib chiqadi. Endi

ixtiyoriy nuqta bo‘lsin, u holda birlashmadagi to‘plamlarning hech bo‘lmaganda bittasiga tegishli bo‘ladi, ya’ni shunday mavjudki, bir vaqtda va bo‘ladi. Bundan ekanligi va demak ekanligi kelib chiqadi.
Biz (7.1) tenglikni isbotladik. to’plam o’lchovliligi isboti (7.1) tenglikdan, hamda o‘lchovli to‘plamlarning sanoqli birlashmasi yana o‘lchovli to’plam ekanligidan kelib chiqadi.
7.2-ta’rif. E o‘lchovli to‘plamda aniqlangan va funksiyalar uchun

bo‘lsa, va lar ekvivalent funksiyalar deyiladi va ~ shaklda belgilanadi.
Biz aynan nol funksiyaga ekvivalent bo’lgan funksiyalarni (yoki ) bilan belgilaymiz.
7.1-teorema. Agar va funksiyalar to‘plamda o‘lchovli bo‘lsa, u holda ularning yig‘indisi ayirmasi va ko‘paytmasi to‘plamda o‘lchovli bo‘ladi. Agar bo‘lsa, u holda funksiya ham E da o‘lchovli bo‘ladi.
Shunday qilib, biz o‘lchovli funksiyalar to‘plamining arifmetik amallarga nisbatan yopiqligini ko‘rsatdik.
Matematik analizdan ma’lum bo‘lgan tekis va nuqtali yaqinlashish ta’riflarini keltiramiz. o‘lchovli to‘plamda funksiya va o‘lchovli funksiyalar ketma-ketligi berilgan bo‘lsin.
7.3-ta’rif. Agar ixtiyoriy uchun shunday mavjud bo‘lib, barcha va ixtiyoriy lar uchun bo‘lsa, u holda funksiyalar ketma-ketligi to‘plamda funksiyaga tekis yaqinlashadi deyiladi.
7.4-ta’rif. Agar har bir da bo‘lsa, u holda funksiyalar ketma-ketligi ga nuqtali yaqinlashadi deyiladi.
Quyidagi teorema o‘lchovli funksiyalar to‘plamining limitga o‘tish (nuqtali yaqinlashish) amaliga nisbatan ham yopiqligini ifodalaydi.
7.2-teorema. Agar to‘plamda o‘lchovli funksiyalar ketma-ketligi har bir da ga yaqinlashsa, u holda limit funksiya to‘plamda o‘lchovli bo‘ladi.
7.5-misol. Agar o‘lchovli funksiya bo‘lsa, u holda funksiya ning ixtiyoriy o‘lchovli qismida ham o‘lchovli funksiya bo‘lishini ko‘rsating.
Yechish. Haqiqatan ham, ixtiyoriy uchun

tenglik o‘rinli. va to‘plamlar o‘lchovli bo‘lganligi uchun to‘plam ham o‘lchovli bo‘ladi. Ta’rifga ko‘ra, funksiya da o‘lchovli bo‘ladi.