7-ma’ruza. O’lchovli funksiyalar va ularning xossalari. O’lchovli funksiyalar ketma-ketligi. Tekis yaqinlashish. Egorov teoremasi. O’lchov bo’yicha yaqinlashish. Lebeg va Riss teoremalari.(2 soat) Darsning rejasi

7.3-teorema. Agar o‘lchovli funksiyalar ketma-ketligi to‘plamda funksiyaga deyarli yaqinlashsa, u holda ketma-ketlik to‘plamda ga o‘lchov bo‘yicha ham yaqinlashadi.
“O‘lchov bo‘yicha yaqinlashishdan deyarli yaqinlashish kelib chiqadimi?” degan savol tug‘iladi. Umuman olganda o‘lchov bo‘yicha yaqinlashishdan deyarli yaqinlashish kelib chiqmaydi.
7.6-misol. Har bir uchun yarim intervalda funksiyalarni quyidagi usul bilan aniqlaymiz

bu yerda i=1,…k . Bu funksiyalar har biri yarim intervalda o’lchovlidir.
Bu funksiyalarning quyi va yuqori indekslari yigindisining o’sish tartibida joylashtirsak, funksiyalar ketma-ketligi hosil bo’ladi. Ushbu ketma-ketlikning nol funksiyaga o‘lchov bo‘yicha yaqinlashishini va har bir uchun nolga yaqinlashmasligini ko’rsating.
Yechish. Har bir uchun shunday va sonlar topiladiki, tenglik bajariladi va cheksizga intilishi bilan ham cheksizga intiladi. Demak, ixtiyoriy kichik uchun

Oxirgi munosabat funksiyalar ketma-ketligining nol funksiyaga o‘lchov bo‘yicha yaqinlashishini anglatadi.
Endi funksiyalar ketma-ketligi intervaldagi har bir nuqtada nolga yaqinlashmasligini ko‘rsatamiz. Ixtiyoriy nuqtani olamiz. Shunday va sonlar topiladiki,

bo‘ladi. Demak,

7.4-teorema. Agar o‘lchovli funksiyalar ketma-ketligi to‘plamda ga o‘lchov bo‘yicha yaqinlashsa, u holda undan ga deyarli yaqinlashuvchi qismiy ketma-ketlik ajratish mumkin.

O‘lchovli funksiyalar tuzilishi.
Biz ushbu paragrafda o’lchovli funksiyalarni uzluksiz funksiyalar bilan yaqinlashtirish haqidagi toeramalar bilan tanishamiz.
7.1-teorema. Faraz qilaylik to’plamda o’lchovli va deyarli chekli qiymatlarni qabul qiluvchi funksiya berilgan bo’lsin. U holda ixtiyoriy uchun shunday o’lchovli chegaralangan funksiya topiladiki, bunda tengsizlik o’rinli bo’ladi.
7.1-ta’rif. funksiya to’plamda aniqlangan bo’lsin va Quyidagi hollarda funksiya nuqtada uzluksiz deb yuritiladi: 1) agar nuqta to’plamning yakkaangan nuqtasi bo’lsa; 2) agar va munosamatdan munosabat kelib chiqsa.
funksiya to’plamning har bir nuqtasida uzluksiz bo’lsa, funksiya to’plamda uzluksiz deb yuritiladi.
Quyidagi teorema uzluksiz va o‘lchovli funksiyalar o‘rtasidagi muhim bog‘lanishni ifodalaydi.